Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanlogsub 24443
 Description: A variation on atanlogadd 24441, to show that √(1 + i𝑧) / √(1 − i𝑧) = √((1 + i𝑧) / (1 − i𝑧)) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsub ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogsub
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9873 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
2 ax-icn 9874 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
3 atandm2 24404 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
43simp1bi 1069 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
5 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
62, 4, 5sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7 addcl 9897 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
81, 6, 7sylancr 694 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
93simp3bi 1071 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
108, 9logcld 24121 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
11 subcl 10159 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
121, 6, 11sylancr 694 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
133simp2bi 1070 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
1412, 13logcld 24121 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
1510, 14subcld 10271 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
1615adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
174recld 13782 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
18 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
19 lttri2 9999 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴))))
2017, 18, 19sylancl 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴))))
2120biimpa 500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
2215imnegd 13798 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (ℑ‘-((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
2310, 14negsubdi2d 10287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
24 mulneg2 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
252, 4, 24sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
2625oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
27 negsub 10208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
281, 6, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
2926, 28eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
3029fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · -𝐴))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
3125oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 − -(i · 𝐴)))
32 subneg 10209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
331, 6, 32sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
3431, 33eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
3534fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · -𝐴))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
3630, 35oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
3723, 36eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴)))))
3837fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (ℑ‘-((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))))
3922, 38eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))))
41 atandmneg 24433 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -𝐴 ∈ dom arctan)
4317lt0neg1d 10476 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((ℜ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘𝐴)))
4443biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘𝐴))
454adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4645renegd 13797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
4744, 46breqtrrd 4611 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℜ‘-𝐴))
48 atanlogsublem 24442 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘-𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
4942, 47, 48syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
50 picn 24015 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5150negnegi 10230 . . . . . . . . . 10 --π = π
5251oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (-π(,)--π) = (-π(,)π)
5349, 52syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))) ∈ (-π(,)--π))
5440, 53eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)--π))
55 pire 24014 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
5655renegcli 10221 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
5855a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
5915adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6059imcld 13783 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
61 iooneg 12163 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π) ↔ -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)--π)))
6257, 58, 60, 61syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π) ↔ -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)--π)))
6354, 62mpbird 246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
64 atanlogsublem 24442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
6563, 64jaodan 822 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
6621, 65syldan 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
67 eliooord 12104 . . . 4 ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π))
6866, 67syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π))
6968simpld 474 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
7068simprd 478 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
7116imcld 13783 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
72 ltle 10005 . . . 4 (((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
7371, 55, 72sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
7470, 73mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
75 ellogrn 24110 . 2 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
7616, 69, 74, 75syl3anbrc 1239 1 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  (,)cioo 12046  ℜcre 13685  ℑcim 13686  πcpi 14636  logclog 24105  arctancatan 24391 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-atan 24394 This theorem is referenced by:  atantan  24450
 Copyright terms: Public domain W3C validator