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Theorem ftc1anclem2 31464
Description: Lemma for ftc1anc 31471- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1  /\  G  e.  { Re ,  Im } )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A , 
( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
Distinct variable groups:    t, F    t, A    t, G

Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 3992 . . 3  |-  ( G  e.  { Re ,  Im }  ->  ( G  =  Re  \/  G  =  Im ) )
2 fveq1 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  Re  ->  ( G `  ( F `  t ) )  =  ( Re `  ( F `  t )
) )
32fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( G  =  Re  ->  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
43ifeq1d 3903 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  Re  ->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) ,  0 ) )
54mpteq2dv 4482 . . . . . . 7  |-  ( G  =  Re  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )
65fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( G  =  Re  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
76adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
8 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
98recld 13176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Re `  ( F `  t )
)  e.  RR )
109adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  t  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  t ) )  e.  RR )
11 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F : A
--> CC )
1211feqmptd 5902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
13 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  e.  L^1 )
1412, 13eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  e.  L^1 )
158iblcn 22497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 
<->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1  /\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) ) )
1615biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 
/\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) )
1714, 16syldan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 
/\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) )
1817simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 )
199recnd 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Re `  ( F `  t )
)  e.  CC )
20 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
21 absf 13319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  abs : CC
--> RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> CC  ->  abs
: CC --> RR )
2322feqmptd 5902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
24 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Re `  ( F `  t ) )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
2519, 20, 23, 24fmptco 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) ) )
2625adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ) )
27 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )
289, 27fmptd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
2928adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) : A --> RR )
30 iblmbf 22466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  e. MblFn )
3212, 31eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  e. MblFn )
338ismbfcn2 22338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e. MblFn  <->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) ) )
3433biimpa 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e. MblFn )  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) )
3532, 34syldan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) )
3635simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )
37 ftc1anclem1 31463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) : A --> RR  /\  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) ) )  e. MblFn )
3829, 36, 37syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
3926, 38eqeltrrd 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
4010, 18, 39iblabsnc 31452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e.  L^1 )
4119abscld 13416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) )  e.  RR )
4219absge0d 13424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )
4341, 42iblpos 22491 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4443adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4540, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4645simprd 461 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4746adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
487, 47eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
49 fveq1 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  Im  ->  ( G `  ( F `  t ) )  =  ( Im `  ( F `  t )
) )
5049fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( G  =  Im  ->  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
5150ifeq1d 3903 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  Im  ->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) ,  0 ) )
5251mpteq2dv 4482 . . . . . . 7  |-  ( G  =  Im  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )
5352fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( G  =  Im  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
5453adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
558imcld 13177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Im `  ( F `  t )
)  e.  RR )
5655recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Im `  ( F `  t )
)  e.  CC )
5756adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  t  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  t ) )  e.  CC )
5817simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 )
59 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
60 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Im `  ( F `  t ) )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
6156, 59, 23, 60fmptco 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) ) )
6261adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ) )
63 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )
6455, 63fmptd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
6564adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) : A --> RR )
6635simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )
67 ftc1anclem1 31463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) : A --> RR  /\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) ) )  e. MblFn )
6865, 66, 67syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
6962, 68eqeltrrd 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
7057, 58, 69iblabsnc 31452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e.  L^1 )
7156abscld 13416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) )  e.  RR )
7256absge0d 13424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )
7371, 72iblpos 22491 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7473adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7570, 74mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
7675simprd 461 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7776adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7854, 77eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7948, 78jaodan 786 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  ( G  =  Re  \/  G  =  Im )
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
801, 79sylan2 472 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  e. 
{ Re ,  Im } )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
81803impa 1192 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1  /\  G  e.  { Re ,  Im } )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A , 
( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3885   {cpr 3974    |-> cmpt 4453    o. ccom 4827   -->wf 5565   ` cfv 5569   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   Recre 13079   Imcim 13080   abscabs 13216  MblFncmbf 22315   S.2citg2 22317   L^1cibl 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-0p 22369
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  31470
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