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Mathbox for Brendan Leahy |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ftc1anclem2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lemma for ftc1anc 32089- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.) |
Ref | Expression |
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ftc1anclem2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elpri 3976 |
. . 3
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2 | fveq1 5878 |
. . . . . . . . . 10
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3 | 2 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | ifeq1d 3890 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | mpteq2dv 4483 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | fveq2d 5883 |
. . . . . 6
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7 | 6 | adantl 473 |
. . . . 5
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8 | ffvelrn 6035 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 8 | recld 13334 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 9 | adantlr 729 |
. . . . . . . . 9
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11 | simpl 464 |
. . . . . . . . . . . . 13
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12 | 11 | feqmptd 5932 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 12, 13 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 8 | iblcn 22835 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | 15 | biimpa 492 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 14, 16 | syldan 478 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | simpld 466 |
. . . . . . . . 9
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19 | 9 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | eqidd 2472 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | absf 13477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 22 | feqmptd 5932 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 19, 20, 23, 24 | fmptco 6072 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 25 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
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27 | eqid 2471 |
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28 | 9, 27 | fmptd 6061 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | adantr 472 |
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30 | iblmbf 22804 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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31 | 30 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | 12, 31 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 8 | ismbfcn2 22674 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 33 | biimpa 492 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 32, 34 | syldan 478 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | ftc1anclem1 32081 |
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38 | 29, 36, 37 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 26, 38 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . 9
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40 | 10, 18, 39 | iblabsnc 32070 |
. . . . . . . 8
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41 | 19 | abscld 13575 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 19 | absge0d 13583 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 41, 42 | iblpos 22829 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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45 | 40, 44 | mpbid 215 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | simprd 470 |
. . . . . 6
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47 | 46 | adantr 472 |
. . . . 5
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48 | 7, 47 | eqeltrd 2549 |
. . . 4
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49 | fveq1 5878 |
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51 | 50 | ifeq1d 3890 |
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52 | 51 | mpteq2dv 4483 |
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53 | 52 | fveq2d 5883 |
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54 | 53 | adantl 473 |
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55 | 8 | imcld 13335 |
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56 | 55 | recnd 9687 |
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57 | 56 | adantlr 729 |
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58 | 17 | simprd 470 |
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59 | eqidd 2472 |
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60 | fveq2 5879 |
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61 | 56, 59, 23, 60 | fmptco 6072 |
. . . . . . . . . . 11
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62 | 61 | adantr 472 |
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63 | eqid 2471 |
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64 | 55, 63 | fmptd 6061 |
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65 | 64 | adantr 472 |
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66 | 35 | simprd 470 |
. . . . . . . . . . 11
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67 | ftc1anclem1 32081 |
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68 | 65, 66, 67 | syl2anc 673 |
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69 | 62, 68 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . 9
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70 | 57, 58, 69 | iblabsnc 32070 |
. . . . . . . 8
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72 | 56 | absge0d 13583 |
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73 | 71, 72 | iblpos 22829 |
. . . . . . . . 9
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74 | 73 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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75 | 70, 74 | mpbid 215 |
. . . . . . 7
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76 | 75 | simprd 470 |
. . . . . 6
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77 | 76 | adantr 472 |
. . . . 5
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78 | 54, 77 | eqeltrd 2549 |
. . . 4
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79 | 48, 78 | jaodan 802 |
. . 3
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80 | 1, 79 | sylan2 482 |
. 2
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81 | 80 | 3impa 1226 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 ax-addf 9636 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-fal 1458 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-disj 4367 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-ofr 6551 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-pm 7493 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fi 7943 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-ioo 11664 df-ico 11666 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-fl 12061 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-clim 13629 df-sum 13830 df-rest 15399 df-topgen 15420 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-met 19041 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-cmp 20479 df-ovol 22494 df-vol 22496 df-mbf 22656 df-itg1 22657 df-itg2 22658 df-ibl 22659 df-0p 22707 |
This theorem is referenced by: ftc1anclem8 32088 |
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