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Theorem ftc1anclem2 28491
Description: Lemma for ftc1anc 28498- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1  /\  G  e.  { Re ,  Im } )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A , 
( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
Distinct variable groups:    t, F    t, A    t, G

Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 3916 . . 3  |-  ( G  e.  { Re ,  Im }  ->  ( G  =  Re  \/  G  =  Im ) )
2 fveq1 5709 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  Re  ->  ( G `  ( F `  t ) )  =  ( Re `  ( F `  t )
) )
32fveq2d 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( G  =  Re  ->  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
43ifeq1d 3826 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  Re  ->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) ,  0 ) )
54mpteq2dv 4398 . . . . . . 7  |-  ( G  =  Re  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )
65fveq2d 5714 . . . . . 6  |-  ( G  =  Re  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
8 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
98recld 12702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Re `  ( F `  t )
)  e.  RR )
109adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  t  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  t ) )  e.  RR )
11 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F : A
--> CC )
1211feqmptd 5763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  e.  L^1 )
1412, 13eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  e.  L^1 )
158iblcn 21295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 
<->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1  /\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) ) )
1615biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 
/\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) )
1714, 16syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 
/\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) )
1817simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 )
199recnd 9431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Re `  ( F `  t )
)  e.  CC )
20 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
21 absf 12844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  abs : CC
--> RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> CC  ->  abs
: CC --> RR )
2322feqmptd 5763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
24 fveq2 5710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Re `  ( F `  t ) )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
2519, 20, 23, 24fmptco 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ) )
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )
289, 27fmptd 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) : A --> RR )
30 iblmbf 21264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  e. MblFn )
3212, 31eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  e. MblFn )
338ismbfcn2 21136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e. MblFn  <->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) ) )
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e. MblFn )  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) )
3532, 34syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) )
3635simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )
37 ftc1anclem1 28490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) : A --> RR  /\  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) ) )  e. MblFn )
3829, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
3926, 38eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
4010, 18, 39iblabsnc 28479 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e.  L^1 )
4119abscld 12941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) )  e.  RR )
4219absge0d 12949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )
4341, 42iblpos 21289 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4540, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4645simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
487, 47eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
49 fveq1 5709 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  Im  ->  ( G `  ( F `  t ) )  =  ( Im `  ( F `  t )
) )
5049fveq2d 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( G  =  Im  ->  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
5150ifeq1d 3826 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  Im  ->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) ,  0 ) )
5251mpteq2dv 4398 . . . . . . 7  |-  ( G  =  Im  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )
5352fveq2d 5714 . . . . . 6  |-  ( G  =  Im  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
5453adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
558imcld 12703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Im `  ( F `  t )
)  e.  RR )
5655recnd 9431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Im `  ( F `  t )
)  e.  CC )
5756adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  t  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  t ) )  e.  CC )
5817simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 )
59 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
60 fveq2 5710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Im `  ( F `  t ) )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
6156, 59, 23, 60fmptco 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ) )
63 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )
6455, 63fmptd 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) : A --> RR )
6635simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )
67 ftc1anclem1 28490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) : A --> RR  /\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) ) )  e. MblFn )
6865, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
6962, 68eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
7057, 58, 69iblabsnc 28479 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e.  L^1 )
7156abscld 12941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) )  e.  RR )
7256absge0d 12949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )
7371, 72iblpos 21289 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7473adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7570, 74mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
7675simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7854, 77eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7948, 78jaodan 783 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  ( G  =  Re  \/  G  =  Im )
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
801, 79sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  e. 
{ Re ,  Im } )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
81803impa 1182 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1  /\  G  e.  { Re ,  Im } )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A , 
( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3810   {cpr 3898    e. cmpt 4369    o. ccom 4863   -->wf 5433   ` cfv 5437   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301   Recre 12605   Imcim 12606   abscabs 12742  MblFncmbf 21113   S.2citg2 21115   L^1cibl 21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-disj 4282  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-ofr 6340  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-sum 13183  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-cmp 19009  df-ovol 20967  df-vol 20968  df-mbf 21118  df-itg1 21119  df-itg2 21120  df-ibl 21121  df-0p 21167
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  28497
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