Theorem ftc1anclem2 31464

Description: Lemma for ftc1anc 31471- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	|- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   t, F   t, A   t, G

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 3992	. . 3 |- ( G e. { Re , Im } -> ( G = Re \/ G = Im ) )
2		fveq1 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( G = Re -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Re ` ( F ` t ) ) )
3	2	fveq2d 5853	. . . . . . . . 9 |- ( G = Re -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
4	3	ifeq1d 3903	. . . . . . . 8 |- ( G = Re -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
5	4	mpteq2dv 4482	. . . . . . 7 |- ( G = Re -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
6	5	fveq2d 5853	. . . . . 6 |- ( G = Re -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
7	6	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
8		ffvelrn 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. CC )
9	8	recld 13176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
10	9	adantlr 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
11		simpl 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F : A --> CC )
12	11	feqmptd 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F = ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
13		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. L^1 )
14	12, 13	eqeltrrd 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
15	8	iblcn 22497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) ) )
16	15	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
17	14, 16	syldan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
18	17	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
19	9	recnd 9652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. CC )
20		eqidd 2403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
21		absf 13319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- abs : CC --> RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> CC -> abs : CC --> RR )
23	22	feqmptd 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> abs = ( x e. CC |-> ( abs ` x ) ) )
24		fveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Re ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
25	19, 20, 23, 24	fmptco 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
26	25	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
27		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) )
28	9, 27	fmptd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
29	28	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
30		iblmbf 22466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. L^1 -> F e. MblFn )
31	30	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. MblFn )
32	12, 31	eqeltrrd 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn )
33	8	ismbfcn2 22338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) ) )
34	33	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
35	32, 34	syldan 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
36	35	simpld 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
37		ftc1anclem1 31463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
38	29, 36, 37	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
39	26, 38	eqeltrrd 2491	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
40	10, 18, 39	iblabsnc 31452	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
41	19	abscld 13416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
42	19	absge0d 13424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
43	41, 42	iblpos 22491	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
44	43	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
45	40, 44	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
46	45	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
47	46	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
48	7, 47	eqeltrd 2490	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
49		fveq1 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( G = Im -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Im ` ( F ` t ) ) )
50	49	fveq2d 5853	. . . . . . . . 9 |- ( G = Im -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
51	50	ifeq1d 3903	. . . . . . . 8 |- ( G = Im -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
52	51	mpteq2dv 4482	. . . . . . 7 |- ( G = Im -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
53	52	fveq2d 5853	. . . . . 6 |- ( G = Im -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
54	53	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
55	8	imcld 13177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. RR )
56	55	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
57	56	adantlr 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
58	17	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
59		eqidd 2403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
60		fveq2 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Im ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
61	56, 59, 23, 60	fmptco 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
62	61	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
63		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) )
64	55, 63	fmptd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
65	64	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
66	35	simprd 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
67		ftc1anclem1 31463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
68	65, 66, 67	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
69	62, 68	eqeltrrd 2491	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
70	57, 58, 69	iblabsnc 31452	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
71	56	abscld 13416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
72	56	absge0d 13424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
73	71, 72	iblpos 22491	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
74	73	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
75	70, 74	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
76	75	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
77	76	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
78	54, 77	eqeltrd 2490	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
79	48, 78	jaodan 786	. . 3 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ ( G = Re \/ G = Im ) ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
80	1, 79	sylan2 472	. 2 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81	80	3impa 1192	1 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   ifcif 3885   {cpr 3974   |-> cmpt 4453   o. ccom 4827   -->wf 5565   ` cfv 5569   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   Recre 13079   Imcim 13080   abscabs 13216  MblFncmbf 22315   S.2citg2 22317   L^1cibl 22318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-0p 22369

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  31470