Theorem ftc1anclem2 28491

Description: Lemma for ftc1anc 28498- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	|- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   t, F   t, A   t, G

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 3916	. . 3 |- ( G e. { Re , Im } -> ( G = Re \/ G = Im ) )
2		fveq1 5709	. . . . . . . . . 10 |- ( G = Re -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Re ` ( F ` t ) ) )
3	2	fveq2d 5714	. . . . . . . . 9 |- ( G = Re -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
4	3	ifeq1d 3826	. . . . . . . 8 |- ( G = Re -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
5	4	mpteq2dv 4398	. . . . . . 7 |- ( G = Re -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
6	5	fveq2d 5714	. . . . . 6 |- ( G = Re -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
8		ffvelrn 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. CC )
9	8	recld 12702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
10	9	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
11		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F : A --> CC )
12	11	feqmptd 5763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F = ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. L^1 )
14	12, 13	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
15	8	iblcn 21295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) ) )
16	15	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
17	14, 16	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
18	17	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
19	9	recnd 9431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. CC )
20		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
21		absf 12844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- abs : CC --> RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> CC -> abs : CC --> RR )
23	22	feqmptd 5763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> abs = ( x e. CC |-> ( abs ` x ) ) )
24		fveq2 5710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Re ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
25	19, 20, 23, 24	fmptco 5895	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
27		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) )
28	9, 27	fmptd 5886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
30		iblmbf 21264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. L^1 -> F e. MblFn )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. MblFn )
32	12, 31	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn )
33	8	ismbfcn2 21136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) ) )
34	33	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
35	32, 34	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
36	35	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
37		ftc1anclem1 28490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
38	29, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
39	26, 38	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
40	10, 18, 39	iblabsnc 28479	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
41	19	abscld 12941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
42	19	absge0d 12949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
43	41, 42	iblpos 21289	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
45	40, 44	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
46	45	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
47	46	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
48	7, 47	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
49		fveq1 5709	. . . . . . . . . 10 |- ( G = Im -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Im ` ( F ` t ) ) )
50	49	fveq2d 5714	. . . . . . . . 9 |- ( G = Im -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
51	50	ifeq1d 3826	. . . . . . . 8 |- ( G = Im -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
52	51	mpteq2dv 4398	. . . . . . 7 |- ( G = Im -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
53	52	fveq2d 5714	. . . . . 6 |- ( G = Im -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
54	53	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
55	8	imcld 12703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. RR )
56	55	recnd 9431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
57	56	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
58	17	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
59		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
60		fveq2 5710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Im ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
61	56, 59, 23, 60	fmptco 5895	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
62	61	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
63		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) )
64	55, 63	fmptd 5886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
66	35	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
67		ftc1anclem1 28490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
68	65, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
69	62, 68	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
70	57, 58, 69	iblabsnc 28479	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
71	56	abscld 12941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
72	56	absge0d 12949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
73	71, 72	iblpos 21289	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
74	73	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
75	70, 74	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
76	75	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
77	76	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
78	54, 77	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
79	48, 78	jaodan 783	. . 3 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ ( G = Re \/ G = Im ) ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
80	1, 79	sylan2 474	. 2 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81	80	3impa 1182	1 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   ifcif 3810   {cpr 3898   e. cmpt 4369   o. ccom 4863   -->wf 5433   ` cfv 5437   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301   Recre 12605   Imcim 12606   abscabs 12742  MblFncmbf 21113   S.2citg2 21115   L^1cibl 21116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-disj 4282  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-ofr 6340  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-sum 13183  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-cmp 19009  df-ovol 20967  df-vol 20968  df-mbf 21118  df-itg1 21119  df-itg2 21120  df-ibl 21121  df-0p 21167

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  28497