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Theorem ftc1anclem2 29655
Description: Lemma for ftc1anc 29662- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1  /\  G  e.  { Re ,  Im } )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A , 
( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
Distinct variable groups:    t, F    t, A    t, G

Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 4040 . . 3  |-  ( G  e.  { Re ,  Im }  ->  ( G  =  Re  \/  G  =  Im ) )
2 fveq1 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  Re  ->  ( G `  ( F `  t ) )  =  ( Re `  ( F `  t )
) )
32fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( G  =  Re  ->  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
43ifeq1d 3950 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  Re  ->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) ,  0 ) )
54mpteq2dv 4527 . . . . . . 7  |-  ( G  =  Re  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )
65fveq2d 5861 . . . . . 6  |-  ( G  =  Re  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
8 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
98recld 12977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Re `  ( F `  t )
)  e.  RR )
109adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  t  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  t ) )  e.  RR )
11 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F : A
--> CC )
1211feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  e.  L^1 )
1412, 13eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  e.  L^1 )
158iblcn 21933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 
<->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1  /\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) ) )
1615biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 
/\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) )
1714, 16syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 
/\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 ) )
1817simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 )
199recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Re `  ( F `  t )
)  e.  CC )
20 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
21 absf 13119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  abs : CC
--> RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> CC  ->  abs
: CC --> RR )
2322feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
24 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Re `  ( F `  t ) )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )
2519, 20, 23, 24fmptco 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ) )
27 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )
289, 27fmptd 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) : A --> RR )
30 iblmbf 21902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  F  e. MblFn )
3212, 31eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  e. MblFn )
338ismbfcn2 21774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e. MblFn  <->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) ) )
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) )  e. MblFn )  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) )
3532, 34syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn  /\  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn ) )
3635simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )
37 ftc1anclem1 29654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) : A --> RR  /\  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  (
t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 t ) ) ) )  e. MblFn )
3829, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
3926, 38eqeltrrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
4010, 18, 39iblabsnc 29643 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )  e.  L^1 )
4119abscld 13216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) )  e.  RR )
4219absge0d 13224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( F `  t )
) ) )
4341, 42iblpos 21927 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4540, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4645simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
487, 47eqeltrd 2548 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Re )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
49 fveq1 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  Im  ->  ( G `  ( F `  t ) )  =  ( Im `  ( F `  t )
) )
5049fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( G  =  Im  ->  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
5150ifeq1d 3950 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  Im  ->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) ,  0 ) )
5251mpteq2dv 4527 . . . . . . 7  |-  ( G  =  Im  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )
5352fveq2d 5861 . . . . . 6  |-  ( G  =  Im  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
5453adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) ) )
558imcld 12978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Im `  ( F `  t )
)  e.  RR )
5655recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( Im `  ( F `  t )
)  e.  CC )
5756adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  t  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  t ) )  e.  CC )
5817simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  e.  L^1 )
59 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
60 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Im `  ( F `  t ) )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )
6156, 59, 23, 60fmptco 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ) )
63 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )
6455, 63fmptd 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) : A --> RR )
6635simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )
67 ftc1anclem1 29654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) : A --> RR  /\  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t ) ) )  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  (
t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 t ) ) ) )  e. MblFn )
6865, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( abs  o.  ( t  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
6962, 68eqeltrrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e. MblFn
)
7057, 58, 69iblabsnc 29643 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )  e.  L^1 )
7156abscld 13216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) )  e.  RR )
7256absge0d 13224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> CC  /\  t  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( F `  t )
) ) )
7371, 72iblpos 21927 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7473adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( ( t  e.  A  |->  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7570, 74mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( (
t  e.  A  |->  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
7675simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7854, 77eqeltrd 2548 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  =  Im )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7948, 78jaodan 783 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  ( G  =  Re  \/  G  =  Im )
)  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
801, 79sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1 )  /\  G  e. 
{ Re ,  Im } )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A ,  ( abs `  ( G `
 ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
81803impa 1186 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  F  e.  L^1  /\  G  e.  { Re ,  Im } )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  A , 
( abs `  ( G `  ( F `  t ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ifcif 3932   {cpr 4022    |-> cmpt 4498    o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   Recre 12880   Imcim 12881   abscabs 13017  MblFncmbf 21751   S.2citg2 21753   L^1cibl 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-0p 21805
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  29661
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