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Theorem ftc1anclem2 32082
Description: Lemma for ftc1anc 32089- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
Distinct variable groups:   t, F   t, A   t, G
Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 3976 . . 3 |- ( G e. { Re , Im } -> ( G = Re \/ G = Im ) )
2 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10 |- ( G = Re -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Re ` ( F ` t ) ) )
32fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 |- ( G = Re -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
43ifeq1d 3890 . . . . . . . 8 |- ( G = Re -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
54mpteq2dv 4483 . . . . . . 7 |- ( G = Re -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
65fveq2d 5883 . . . . . 6 |- ( G = Re -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
76adantl 473 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
8 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. CC )
98recld 13334 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
109adantlr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
11 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F : A --> CC )
1211feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F = ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
13 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. L^1 )
1412, 13eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
158iblcn 22835 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) ) )
1615biimpa 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
1714, 16syldan 478 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
1817simpld 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
199recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. CC )
20 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
21 absf 13477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- abs : CC --> RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> CC -> abs : CC --> RR )
2322feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> abs = ( x e. CC |-> ( abs ` x ) ) )
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Re ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
2519, 20, 23, 24fmptco 6072 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
2625adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
27 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) )
289, 27fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
2928adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
30 iblmbf 22804 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. L^1 -> F e. MblFn )
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. MblFn )
3212, 31eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn )
338ismbfcn2 22674 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) ) )
3433biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
3532, 34syldan 478 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
3635simpld 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
37 ftc1anclem1 32081 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
3829, 36, 37syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
3926, 38eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
4010, 18, 39iblabsnc 32070 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
4119abscld 13575 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
4219absge0d 13583 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
4341, 42iblpos 22829 . . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
4443adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
4540, 44mpbid 215 . . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
4645simprd 470 . . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
4746adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
487, 47eqeltrd 2549 . . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
49 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10 |- ( G = Im -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Im ` ( F ` t ) ) )
5049fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 |- ( G = Im -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
5150ifeq1d 3890 . . . . . . . 8 |- ( G = Im -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
5251mpteq2dv 4483 . . . . . . 7 |- ( G = Im -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
5352fveq2d 5883 . . . . . 6 |- ( G = Im -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
5453adantl 473 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
558imcld 13335 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. RR )
5655recnd 9687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
5756adantlr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
5817simprd 470 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
59 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
60 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Im ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
6156, 59, 23, 60fmptco 6072 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
6261adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
63 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) )
6455, 63fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
6564adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
6635simprd 470 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
67 ftc1anclem1 32081 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
6865, 66, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
6962, 68eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
7057, 58, 69iblabsnc 32070 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
7156abscld 13575 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
7256absge0d 13583 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
7371, 72iblpos 22829 . . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
7473adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
7570, 74mpbid 215 . . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
7675simprd 470 . . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
7776adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
7854, 77eqeltrd 2549 . . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
7948, 78jaodan 802 . . 3 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ ( G = Re \/ G = Im ) ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
801, 79sylan2 482 . 2 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81803impa 1226 1 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   ifcif 3872   {cpr 3961   |-> cmpt 4454   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   Recre 13237   Imcim 13238   abscabs 13374  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653   L^1cibl 22654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  32088
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