Theorem ftc1anclem2 29655

Description: Lemma for ftc1anc 29662- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	|- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   t, F   t, A   t, G

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4040	. . 3 |- ( G e. { Re , Im } -> ( G = Re \/ G = Im ) )
2		fveq1 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( G = Re -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Re ` ( F ` t ) ) )
3	2	fveq2d 5861	. . . . . . . . 9 |- ( G = Re -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
4	3	ifeq1d 3950	. . . . . . . 8 |- ( G = Re -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
5	4	mpteq2dv 4527	. . . . . . 7 |- ( G = Re -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
6	5	fveq2d 5861	. . . . . 6 |- ( G = Re -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
8		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. CC )
9	8	recld 12977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
10	9	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. RR )
11		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F : A --> CC )
12	11	feqmptd 5911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F = ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. L^1 )
14	12, 13	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 )
15	8	iblcn 21933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) ) )
16	15	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
17	14, 16	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 ) )
18	17	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
19	9	recnd 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Re ` ( F ` t ) ) e. CC )
20		eqidd 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
21		absf 13119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- abs : CC --> RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> CC -> abs : CC --> RR )
23	22	feqmptd 5911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> abs = ( x e. CC |-> ( abs ` x ) ) )
24		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Re ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
25	19, 20, 23, 24	fmptco 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) )
27		eqid 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) )
28	9, 27	fmptd 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
30		iblmbf 21902	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. L^1 -> F e. MblFn )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> F e. MblFn )
32	12, 31	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn )
33	8	ismbfcn2 21774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn <-> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) ) )
34	33	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> CC /\ ( t e. A |-> ( F ` t ) ) e. MblFn ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
35	32, 34	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) )
36	35	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
37		ftc1anclem1 29654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
38	29, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
39	26, 38	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
40	10, 18, 39	iblabsnc 29643	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
41	19	abscld 13216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
42	19	absge0d 13224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) )
43	41, 42	iblpos 21927	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
45	40, 44	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
46	45	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
47	46	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Re ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
48	7, 47	eqeltrd 2548	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Re ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
49		fveq1 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( G = Im -> ( G ` ( F ` t ) ) = ( Im ` ( F ` t ) ) )
50	49	fveq2d 5861	. . . . . . . . 9 |- ( G = Im -> ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
51	50	ifeq1d 3950	. . . . . . . 8 |- ( G = Im -> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) = if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) )
52	51	mpteq2dv 4527	. . . . . . 7 |- ( G = Im -> ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) = ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) )
53	52	fveq2d 5861	. . . . . 6 |- ( G = Im -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
54	53	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) )
55	8	imcld 12978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. RR )
56	55	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
57	56	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ t e. A ) -> ( Im ` ( F ` t ) ) e. CC )
58	17	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. L^1 )
59		eqidd 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
60		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Im ` ( F ` t ) ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
61	56, 59, 23, 60	fmptco 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> CC -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
62	61	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) )
63		eqid 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) )
64	55, 63	fmptd 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
66	35	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
67		ftc1anclem1 29654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR /\ ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
68	65, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( abs o. ( t e. A |-> ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
69	62, 68	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn )
70	57, 58, 69	iblabsnc 29643	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 )
71	56	abscld 13216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) e. RR )
72	56	absge0d 13224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> CC /\ t e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) )
73	71, 72	iblpos 21927	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
74	73	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. L^1 <-> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
75	70, 74	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( ( t e. A |-> ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
76	75	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
77	76	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( Im ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
78	54, 77	eqeltrd 2548	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G = Im ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
79	48, 78	jaodan 783	. . 3 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ ( G = Re \/ G = Im ) ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
80	1, 79	sylan2 474	. 2 |- ( ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 ) /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81	80	3impa 1186	1 |- ( ( F : A --> CC /\ F e. L^1 /\ G e. { Re , Im } ) -> ( S.2 ` ( t e. RR |-> if ( t e. A , ( abs ` ( G ` ( F ` t ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   ifcif 3932   {cpr 4022   |-> cmpt 4498   o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   Recre 12880   Imcim 12881   abscabs 13017  MblFncmbf 21751   S.2citg2 21753   L^1cibl 21754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-0p 21805

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  29661