Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finiunmbl 23119
 Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3115 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2 iuneq1 4470 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
32eleq1d 2672 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
41, 3imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5 raleq 3115 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6 iuneq1 4470 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘𝑥 𝐵)
76eleq1d 2672 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
85, 7imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9 raleq 3115 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10 iuneq1 4470 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
1110eleq1d 2672 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
129, 11imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13 raleq 3115 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14 iuneq1 4470 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘𝐴 𝐵)
1514eleq1d 2672 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
1613, 15imbi12d 333 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17 0iun 4513 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18 0mbl 23114 . . . . 5 ∅ ∈ dom vol
1917, 18eqeltri 2684 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
2019a1i 11 . . 3 (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21 ssun1 3738 . . . . . . 7 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22 ssralv 3629 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
2423imim1i 61 . . . . 5 ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25 ssun2 3739 . . . . . . 7 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26 ssralv 3629 . . . . . . 7 ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28 iunxun 4541 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
30 csbeq1 3502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧𝑥 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3130eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol))
3229, 31ralsn 4169 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
33 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
3534nfel1 2765 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol
36 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
3736eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol))
3833, 35, 37cbvral 3143 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
39 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
4039, 34, 36cbviun 4493 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵
4129, 30iunxsn 4539 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵
4240, 41eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵
4342eleq1i 2679 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
4432, 38, 433bitr4i 291 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45 unmbl 23112 . . . . . . . . 9 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
4644, 45sylan2b 491 . . . . . . . 8 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
4728, 46syl5eqel 2692 . . . . . . 7 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
4847expcom 450 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → ( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
4927, 48syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
5024, 49sylcom 30 . . . 4 ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
5150a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 8085 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5352imp 444 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⦋csb 3499   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ ciun 4455  dom cdm 5038  Fincfn 7841  volcvol 23039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041 This theorem is referenced by:  volfiniun  23122  iunmbl  23128  volsup  23131  iunmbl2  23132  uniioovol  23153  uniioombllem4  23160  uniioombllem5  23161  dyadmbl  23174  i1fima  23251  i1fd  23254  i1fadd  23268  i1fmul  23269  volfiniune  29620  volsupnfl  32624  itg2addnclem2  32632  ftc1anclem6  32660
 Copyright terms: Public domain W3C validator