MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fofi 8135
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 8124 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2 domfi 8066 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
31, 2syldan 486 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4583  ontowfo 5802  cdom 7839  Fincfn 7841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845
This theorem is referenced by:  f1fi  8136  imafi  8142  f1opwfi  8153  indexfi  8157  intrnfi  8205  infpwfien  8768  ttukeylem6  9219  fseqsupcl  12638  fiinfnf1o  13000  vdwlem6  15528  0ram2  15563  0ramcl  15565  mplsubrglem  19260  tgcmp  21014  hauscmplem  21019  1stcfb  21058  comppfsc  21145  1stckgenlem  21166  ptcnplem  21234  txtube  21253  txcmplem1  21254  tmdgsum2  21710  tsmsf1o  21758  tsmsxplem1  21766  ovolicc2lem4  23095  i1fadd  23268  i1fmul  23269  itg1addlem4  23272  i1fmulc  23276  mbfi1fseqlem4  23291  limciun  23464  edgusgranbfin  25979  erdszelem2  30428  mvrsfpw  30657  itg2addnclem2  32632  istotbnd3  32740  sstotbnd  32744  prdsbnd  32762  cntotbnd  32765  heiborlem1  32780  heibor  32790  lmhmfgima  36672  edgusgrnbfin  40601
  Copyright terms: Public domain W3C validator