MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fofi 7891
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7881 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7824 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 477 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    e. wcel 1898   class class class wbr 4418   -onto->wfo 5603    ~<_ cdom 7598   Fincfn 7600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-om 6725  df-1o 7213  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-fin 7604
This theorem is referenced by:  f1fi  7892  imafi  7898  f1opwfi  7909  indexfi  7913  intrnfi  7961  infpwfien  8524  ttukeylem6  8975  fseqsupcl  12228  fiinfnf1o  12571  vdwlem6  14991  0ram2  15034  0ramcl  15036  mplsubrglem  18718  tgcmp  20471  hauscmplem  20476  1stcfb  20515  comppfsc  20602  1stckgenlem  20623  ptcnplem  20691  txtube  20710  txcmplem1  20711  tmdgsum2  21166  tsmsf1o  21214  tsmsxplem1  21222  ovolicc2lem4OLD  22528  ovolicc2lem4  22529  i1fadd  22709  i1fmul  22710  itg1addlem4  22713  i1fmulc  22717  mbfi1fseqlem4  22732  limciun  22905  edgusgranbfin  25234  erdszelem2  29965  mvrsfpw  30194  itg2addnclem2  32040  istotbnd3  32149  sstotbnd  32153  prdsbnd  32171  cntotbnd  32174  heiborlem1  32189  heibor  32199  lmhmfgima  35988  edgusgrnbfin  39593
  Copyright terms: Public domain W3C validator