MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Unicode version

Theorem fofi 7027
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7020 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 6969 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   -onto->wfo 4590    ~<_ cdom 6747   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  f1fi  7028  imafi  7032  f1opwfi  7043  indexfi  7047  intrnfi  7054  infpwfien  7573  ttukeylem6  8025  fseqsupcl  10917  vdwlem6  12907  0ram2  12942  0ramcl  12944  mplsubrglem  16015  tgcmp  16960  hauscmplem  16965  1stcfb  17003  1stckgenlem  17080  ptcnplem  17147  txtube  17166  txcmplem1  17167  tmdgsum2  17611  tsmsf1o  17659  tsmsxplem1  17667  ovolicc2lem4  18711  i1fadd  18882  i1fmul  18883  itg1addlem4  18886  i1fmulc  18890  mbfi1fseqlem4  18905  limciun  19076  erdszelem2  22894  f1ofi  24235  comppfsc  25473  istotbnd3  25661  sstotbnd  25665  prdsbnd  25683  cntotbnd  25686  heiborlem1  25701  heibor  25711  lmhmfgima  26348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-1o 6365  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-fin 6753
  Copyright terms: Public domain W3C validator