MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fofi Structured version   Unicode version

Theorem fofi 7802
Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
fofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem fofi
StepHypRef Expression
1 fodomfi 7795 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
2 domfi 7738 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  Fin )
31, 2syldan 470 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   -onto->wfo 5584    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  f1fi  7803  imafi  7809  f1opwfi  7820  indexfi  7824  intrnfi  7872  infpwfien  8439  ttukeylem6  8890  fseqsupcl  12050  fiinfnf1o  12385  vdwlem6  14356  0ram2  14391  0ramcl  14393  mplsubrglem  17868  mplsubrglemOLD  17869  tgcmp  19664  hauscmplem  19669  1stcfb  19709  1stckgenlem  19786  ptcnplem  19854  txtube  19873  txcmplem1  19874  tmdgsum2  20327  tsmsf1o  20379  tsmsxplem1  20387  ovolicc2lem4  21663  i1fadd  21834  i1fmul  21835  itg1addlem4  21838  i1fmulc  21842  mbfi1fseqlem4  21857  limciun  22030  edgusgranbfin  24123  erdszelem2  28273  itg2addnclem2  29642  comppfsc  29777  istotbnd3  29868  sstotbnd  29872  prdsbnd  29890  cntotbnd  29893  heiborlem1  29908  heibor  29918  lmhmfgima  30634
  Copyright terms: Public domain W3C validator