Theorem 1cubr 24369

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1cubr.r	⊢ 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}

Assertion

Ref	Expression
1cubr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Proof of Theorem 1cubr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cubr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)}
2		ax-1cn 9873	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		neg1cn 11001	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 9874	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
5		3cn 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		sqrtcl 13949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℂ → (√‘3) ∈ ℂ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 9924	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
9	3, 8	addcli 9923	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
10		halfcl 11134	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
12	3, 8	subcli 10236	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ
13		halfcl 11134	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ → ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ
15	2, 11, 14	3pm3.2i 1232	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ)
16	2	elexi 3186	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
17		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
18		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ V
19	16, 17, 18	tpss 4308	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ ∧ ((-1 − (i · (√‘3))) / 2) ∈ ℂ) ↔ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ)
20	15, 19	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ⊆ ℂ
21	1, 20	eqsstri 3598	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℂ
22	21	sseli 3564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ ℂ)
23	22	pm4.71ri 663	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
24		3nn 11063	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		cxpeq 24298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
26	24, 2, 25	mp3an23 1408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
27		eltpg 4174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)} ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))))
28	1	eleq2i 2680	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ {1, ((-1 + (i · (√‘3))) / 2), ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)})
29		3m1e2 11014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
30		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30	addid2i 10103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
32	29, 31	eqtr4i 2635	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
33	32	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
34		0z 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		fztp 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
37	33, 36	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (0...(3 − 1)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
38	37	rexeqi 3120	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
39		3ne0 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
40	5, 39	reccli 10634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
41		1cxp 24218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → (1↑𝑐(1 / 3)) = 1)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑𝑐(1 / 3)) = 1
43	42	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))
44	43	eqeq2i 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
45	44	rexbii 3023	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)))
46	34	elexi 3186	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) ∈ V
48		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) ∈ V
49		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0))
50	30, 5, 39	divcli 10646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
51		cxpcl 24220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
52	3, 50, 51	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
53		exp0 12726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑0) = 1
55	49, 54	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = 1)
56	55	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · 1))
57		1t1e1 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
58	56, 57	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = 1)
59	58	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = 1))
60		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = (0 + 1))
61	2	addid2i 10103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
62	60, 61	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → 𝑛 = 1)
63	62	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1))
64		exp1 12728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
65	52, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
66	63, 65	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
67	66	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))))
68	52	mulid2i 9922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = (-1↑𝑐(2 / 3))
69		1cubrlem 24368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
70	69	simpli 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71	68, 70	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (-1↑𝑐(2 / 3))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
72	67, 71	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
73	72	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 1) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = (0 + 2))
75	74, 31	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → 𝑛 = 2)
76	75	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2))
77	76	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)))
78	52	sqcli 12806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) ∈ ℂ
79	78	mulid2i 9922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
80	69	simpri 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
81	79, 80	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
82	77, 81	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
83	82	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (0 + 2) → (𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
84	46, 47, 48, 59, 73, 83	rextp 4188	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0, (0 + 1), (0 + 2)}𝐴 = (1 · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
85	38, 45, 84	3bitri 285	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛)) ↔ (𝐴 = 1 ∨ 𝐴 = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∨ 𝐴 = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)))
86	27, 28, 85	3bitr4g 302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(3 − 1))𝐴 = ((1↑𝑐(1 / 3)) · ((-1↑𝑐(2 / 3))↑𝑛))))
87	26, 86	bitr4d 270	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) = 1 ↔ 𝐴 ∈ 𝑅))
88	87	pm5.32i 667	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑅))
89	23, 88	bitr4i 266	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {ctp 4129  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ↑_𝑐ccxp 24106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108

This theorem is referenced by:  cubic  24376