Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  631prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 631prm 15672
 Description: 631 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
631prm 631 ∈ ℙ

Proof of Theorem 631prm
StepHypRef Expression
1 6nn0 11190 . . . 4 6 ∈ ℕ0
2 3nn0 11187 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . 3 63 ∈ ℕ0
4 1nn 10908 . . 3 1 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11394 . 2 631 ∈ ℕ
6 8nn0 11192 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11188 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 1nn0 11185 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 6lt8 11093 . . 3 6 < 8
10 3lt10 11555 . . 3 3 < 10
11 1lt10 11557 . . 3 1 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 8, 9, 10, 113decltc 11414 . 2 631 < 841
13 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11394 . . 3 63 ∈ ℕ
1514, 8, 8, 11declti 11422 . 2 1 < 631
16 0nn0 11184 . . 3 0 ∈ ℕ0
17 2cn 10968 . . . 4 2 ∈ ℂ
1817mul02i 10104 . . 3 (0 · 2) = 0
19 1e0p1 11428 . . 3 1 = (0 + 1)
203, 16, 18, 19dec2dvds 15605 . 2 ¬ 2 ∥ 631
21 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2221, 8deccl 11388 . . . 4 21 ∈ ℕ0
2322, 16deccl 11388 . . 3 210 ∈ ℕ0
24 eqid 2610 . . . 4 210 = 210
258dec0h 11398 . . . 4 1 = 01
26 eqid 2610 . . . . 5 21 = 21
27 00id 10090 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2816dec0h 11398 . . . . . 6 0 = 00
2927, 28eqtri 2632 . . . . 5 (0 + 0) = 00
30 3t2e6 11056 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
3130, 27oveq12i 6561 . . . . . 6 ((3 · 2) + (0 + 0)) = (6 + 0)
32 6cn 10979 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
3332addid1i 10102 . . . . . 6 (6 + 0) = 6
3431, 33eqtri 2632 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 0)) = 6
35 3t1e3 11055 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
3635oveq1i 6559 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
37 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3837addid1i 10102 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
392dec0h 11398 . . . . . 6 3 = 03
4036, 38, 393eqtri 2636 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
4121, 8, 16, 16, 26, 29, 2, 2, 16, 34, 40decma2c 11444 . . . 4 ((3 · 21) + (0 + 0)) = 63
4237mul01i 10105 . . . . . 6 (3 · 0) = 0
4342oveq1i 6559 . . . . 5 ((3 · 0) + 1) = (0 + 1)
44 0p1e1 11009 . . . . 5 (0 + 1) = 1
4543, 44, 253eqtri 2636 . . . 4 ((3 · 0) + 1) = 01
4622, 16, 16, 8, 24, 25, 2, 8, 16, 41, 45decma2c 11444 . . 3 ((3 · 210) + 1) = 631
47 1lt3 11073 . . 3 1 < 3
4813, 23, 4, 46, 47ndvdsi 14974 . 2 ¬ 3 ∥ 631
49 1lt5 11080 . . 3 1 < 5
503, 4, 49dec5dvds 15606 . 2 ¬ 5 ∥ 631
51 7nn 11067 . . 3 7 ∈ ℕ
52 9nn0 11193 . . . 4 9 ∈ ℕ0
5352, 16deccl 11388 . . 3 90 ∈ ℕ0
54 eqid 2610 . . . 4 90 = 90
55 7nn0 11191 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5627oveq2i 6560 . . . . 5 ((7 · 9) + (0 + 0)) = ((7 · 9) + 0)
57 9cn 10985 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
58 7cn 10981 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
59 9t7e63 11544 . . . . . . 7 (9 · 7) = 63
6057, 58, 59mulcomli 9926 . . . . . 6 (7 · 9) = 63
6160oveq1i 6559 . . . . 5 ((7 · 9) + 0) = (63 + 0)
623nn0cni 11181 . . . . . 6 63 ∈ ℂ
6362addid1i 10102 . . . . 5 (63 + 0) = 63
6456, 61, 633eqtri 2636 . . . 4 ((7 · 9) + (0 + 0)) = 63
6558mul01i 10105 . . . . . 6 (7 · 0) = 0
6665oveq1i 6559 . . . . 5 ((7 · 0) + 1) = (0 + 1)
6766, 44, 253eqtri 2636 . . . 4 ((7 · 0) + 1) = 01
6852, 16, 16, 8, 54, 25, 55, 8, 16, 64, 67decma2c 11444 . . 3 ((7 · 90) + 1) = 631
69 1lt7 11091 . . 3 1 < 7
7051, 53, 4, 68, 69ndvdsi 14974 . 2 ¬ 7 ∥ 631
718, 4decnncl 11394 . . 3 11 ∈ ℕ
72 5nn0 11189 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7372, 55deccl 11388 . . 3 57 ∈ ℕ0
74 4nn 11064 . . 3 4 ∈ ℕ
75 eqid 2610 . . . 4 57 = 57
767dec0h 11398 . . . 4 4 = 04
778, 8deccl 11388 . . . 4 11 ∈ ℕ0
78 eqid 2610 . . . . 5 11 = 11
79 8cn 10983 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
8079addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 8) = 8
816dec0h 11398 . . . . . 6 8 = 08
8280, 81eqtri 2632 . . . . 5 (0 + 8) = 08
83 5cn 10977 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
8483mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 5) = 5
8584, 44oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 1)) = (5 + 1)
86 5p1e6 11032 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
8785, 86eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 5) + (0 + 1)) = 6
8884oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 · 5) + 8) = (5 + 8)
89 8p5e13 11491 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
9079, 83, 89addcomli 10107 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
9188, 90eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 5) + 8) = 13
928, 8, 16, 6, 78, 82, 72, 2, 8, 87, 91decmac 11442 . . . 4 ((11 · 5) + (0 + 8)) = 63
9358mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
9493, 44oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 7) + (0 + 1)) = (7 + 1)
95 7p1e8 11034 . . . . . 6 (7 + 1) = 8
9694, 95eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 1)) = 8
9793oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 · 7) + 4) = (7 + 4)
98 7p4e11 11481 . . . . . 6 (7 + 4) = 11
9997, 98eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 7) + 4) = 11
1008, 8, 16, 7, 78, 76, 55, 8, 8, 96, 99decmac 11442 . . . 4 ((11 · 7) + 4) = 81
10172, 55, 16, 7, 75, 76, 77, 8, 6, 92, 100decma2c 11444 . . 3 ((11 · 57) + 4) = 631
102 4lt10 11554 . . . 4 4 < 10
1034, 8, 7, 102declti 11422 . . 3 4 < 11
10471, 73, 74, 101, 103ndvdsi 14974 . 2 ¬ 11 ∥ 631
1058, 13decnncl 11394 . . 3 13 ∈ ℕ
1067, 6deccl 11388 . . 3 48 ∈ ℕ0
107 eqid 2610 . . . 4 48 = 48
10855dec0h 11398 . . . 4 7 = 07
1098, 2deccl 11388 . . . 4 13 ∈ ℕ0
110 eqid 2610 . . . . 5 13 = 13
11177nn0cni 11181 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
112111addid2i 10103 . . . . 5 (0 + 11) = 11
113 4cn 10975 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
114113mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 4) = 4
115 1p1e2 11011 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
116114, 115oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
117 4p2e6 11039 . . . . . 6 (4 + 2) = 6
118116, 117eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
119 4t3e12 11508 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
120113, 37, 119mulcomli 9926 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
121 2p1e3 11028 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1228, 21, 8, 120, 121decaddi 11455 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
1238, 2, 8, 8, 110, 112, 7, 2, 8, 118, 122decmac 11442 . . . 4 ((13 · 4) + (0 + 11)) = 63
12479mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
12537addid2i 10103 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
126124, 125oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 8) + (0 + 3)) = (8 + 3)
127 8p3e11 11488 . . . . . 6 (8 + 3) = 11
128126, 127eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 3)) = 11
129 8t3e24 11531 . . . . . . 7 (8 · 3) = 24
13079, 37, 129mulcomli 9926 . . . . . 6 (3 · 8) = 24
13158, 113, 98addcomli 10107 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
13221, 7, 55, 130, 121, 8, 131decaddci 11456 . . . . 5 ((3 · 8) + 7) = 31
1338, 2, 16, 55, 110, 108, 6, 8, 2, 128, 132decmac 11442 . . . 4 ((13 · 8) + 7) = 111
1347, 6, 16, 55, 107, 108, 109, 8, 77, 123, 133decma2c 11444 . . 3 ((13 · 48) + 7) = 631
135 7lt10 11551 . . . 4 7 < 10
1364, 2, 55, 135declti 11422 . . 3 7 < 13
137105, 106, 51, 134, 136ndvdsi 14974 . 2 ¬ 13 ∥ 631
1388, 51decnncl 11394 . . 3 17 ∈ ℕ
1392, 55deccl 11388 . . 3 37 ∈ ℕ0
140 2nn 11062 . . 3 2 ∈ ℕ
141 eqid 2610 . . . 4 37 = 37
14221dec0h 11398 . . . 4 2 = 02
1438, 55deccl 11388 . . . 4 17 ∈ ℕ0
1448, 21deccl 11388 . . . 4 12 ∈ ℕ0
145 eqid 2610 . . . . 5 17 = 17
146144nn0cni 11181 . . . . . 6 12 ∈ ℂ
147146addid2i 10103 . . . . 5 (0 + 12) = 12
14837mulid2i 9922 . . . . . . 7 (1 · 3) = 3
149 1p2e3 11029 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
150148, 149oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 3) + (1 + 2)) = (3 + 3)
151 3p3e6 11038 . . . . . 6 (3 + 3) = 6
152150, 151eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 2)) = 6
153 7t3e21 11525 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
15421, 8, 21, 153, 149decaddi 11455 . . . . 5 ((7 · 3) + 2) = 23
1558, 55, 8, 21, 145, 147, 2, 2, 21, 152, 154decmac 11442 . . . 4 ((17 · 3) + (0 + 12)) = 63
15683addid2i 10103 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
15793, 156oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 7) + (0 + 5)) = (7 + 5)
158 7p5e12 11483 . . . . . 6 (7 + 5) = 12
159157, 158eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 5)) = 12
160 7t7e49 11529 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
161 4p1e5 11031 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
162 9p2e11 11495 . . . . . 6 (9 + 2) = 11
1637, 52, 21, 160, 161, 8, 162decaddci 11456 . . . . 5 ((7 · 7) + 2) = 51
1648, 55, 16, 21, 145, 142, 55, 8, 72, 159, 163decmac 11442 . . . 4 ((17 · 7) + 2) = 121
1652, 55, 16, 21, 141, 142, 143, 8, 144, 155, 164decma2c 11444 . . 3 ((17 · 37) + 2) = 631
166 2lt10 11556 . . . 4 2 < 10
1674, 55, 21, 166declti 11422 . . 3 2 < 17
168138, 139, 140, 165, 167ndvdsi 14974 . 2 ¬ 17 ∥ 631
169 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
1708, 169decnncl 11394 . . 3 19 ∈ ℕ
1712, 2deccl 11388 . . 3 33 ∈ ℕ0
172 eqid 2610 . . . 4 33 = 33
1738, 52deccl 11388 . . . 4 19 ∈ ℕ0
174 eqid 2610 . . . . 5 19 = 19
17532addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
1761dec0h 11398 . . . . . 6 6 = 06
177175, 176eqtri 2632 . . . . 5 (0 + 6) = 06
178148, 125oveq12i 6561 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
179178, 151eqtri 2632 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
180 9t3e27 11540 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
181 7p6e13 11484 . . . . . 6 (7 + 6) = 13
18221, 55, 1, 180, 121, 2, 181decaddci 11456 . . . . 5 ((9 · 3) + 6) = 33
1838, 52, 16, 1, 174, 177, 2, 2, 2, 179, 182decmac 11442 . . . 4 ((19 · 3) + (0 + 6)) = 63
18421, 55, 7, 180, 121, 8, 98decaddci 11456 . . . . 5 ((9 · 3) + 4) = 31
1858, 52, 16, 7, 174, 76, 2, 8, 2, 179, 184decmac 11442 . . . 4 ((19 · 3) + 4) = 61
1862, 2, 16, 7, 172, 76, 173, 8, 1, 183, 185decma2c 11444 . . 3 ((19 · 33) + 4) = 631
1874, 52, 7, 102declti 11422 . . 3 4 < 19
188170, 171, 74, 186, 187ndvdsi 14974 . 2 ¬ 19 ∥ 631
18921, 13decnncl 11394 . . 3 23 ∈ ℕ
19021, 55deccl 11388 . . 3 27 ∈ ℕ0
191 10nn 11390 . . 3 10 ∈ ℕ
192 eqid 2610 . . . 4 27 = 27
193 eqid 2610 . . . 4 10 = 10
19421, 2deccl 11388 . . . 4 23 ∈ ℕ0
1958, 1deccl 11388 . . . 4 16 ∈ ℕ0
196 eqid 2610 . . . . 5 23 = 23
197 eqid 2610 . . . . . 6 16 = 16
198 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
199 6p1e7 11033 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
20032, 198, 199addcomli 10107 . . . . . 6 (1 + 6) = 7
20116, 8, 8, 1, 25, 197, 44, 200decadd 11446 . . . . 5 (1 + 16) = 17
202 2t2e4 11054 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
203202, 115oveq12i 6561 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
204203, 117eqtri 2632 . . . . 5 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
20530oveq1i 6559 . . . . . 6 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
20658, 32, 181addcomli 10107 . . . . . 6 (6 + 7) = 13
207205, 206eqtri 2632 . . . . 5 ((3 · 2) + 7) = 13
20821, 2, 8, 55, 196, 201, 21, 2, 8, 204, 207decmac 11442 . . . 4 ((23 · 2) + (1 + 16)) = 63
209 7t2e14 11524 . . . . . . . . 9 (7 · 2) = 14
21058, 17, 209mulcomli 9926 . . . . . . . 8 (2 · 7) = 14
2118, 7, 21, 210, 117decaddi 11455 . . . . . . 7 ((2 · 7) + 2) = 16
21258, 37, 153mulcomli 9926 . . . . . . 7 (3 · 7) = 21
21355, 21, 2, 196, 8, 21, 211, 212decmul1c 11463 . . . . . 6 (23 · 7) = 161
214213oveq1i 6559 . . . . 5 ((23 · 7) + 0) = (161 + 0)
215195, 8deccl 11388 . . . . . . 7 161 ∈ ℕ0
216215nn0cni 11181 . . . . . 6 161 ∈ ℂ
217216addid1i 10102 . . . . 5 (161 + 0) = 161
218214, 217eqtri 2632 . . . 4 ((23 · 7) + 0) = 161
21921, 55, 8, 16, 192, 193, 194, 8, 195, 208, 218decma2c 11444 . . 3 ((23 · 27) + 10) = 631
220 10pos 11391 . . . 4 0 < 10
221 1lt2 11071 . . . 4 1 < 2
2228, 21, 16, 2, 220, 221decltc 11408 . . 3 10 < 23
223189, 190, 191, 219, 222ndvdsi 14974 . 2 ¬ 23 ∥ 631
2245, 12, 15, 20, 48, 50, 70, 104, 137, 168, 188, 223prmlem2 15665 1 631 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator