MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem3 15684
Description: Lemma for 2503prm 15685. Calculate the GCD of 2↑18 − 1≡1831 with 𝑁 = 2503. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem3 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 2503lem3
StepHypRef Expression
1 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 1nn0 11185 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
3 8nn0 11192 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11388 . . . 4 18 ∈ ℕ0
5 nnexpcl 12735 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (2↑18) ∈ ℕ)
61, 4, 5mp2an 704 . . 3 (2↑18) ∈ ℕ
7 nnm1nn0 11211 . . 3 ((2↑18) ∈ ℕ → ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0)
86, 7ax-mp 5 . 2 ((2↑18) − 1) ∈ ℕ0
9 3nn0 11187 . . . 4 3 ∈ ℕ0
104, 9deccl 11388 . . 3 183 ∈ ℕ0
1110, 2deccl 11388 . 2 1831 ∈ ℕ0
12 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
13 2nn0 11186 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11189 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 11388 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
16 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1715, 16deccl 11388 . . . 4 250 ∈ ℕ0
18 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
1917, 18decnncl 11394 . . 3 2503 ∈ ℕ
2012, 19eqeltri 2684 . 2 𝑁 ∈ ℕ
21122503lem1 15682 . . 3 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
22 1p1e2 11011 . . . 4 (1 + 1) = 2
23 eqid 2610 . . . 4 1831 = 1831
2410, 2, 22, 23decsuc 11411 . . 3 (1831 + 1) = 1832
2520, 6, 2, 11, 21, 24modsubi 15614 . 2 (((2↑18) − 1) mod 𝑁) = (1831 mod 𝑁)
26 6nn0 11190 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
27 7nn0 11191 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2826, 27deccl 11388 . . . 4 67 ∈ ℕ0
2928, 13deccl 11388 . . 3 672 ∈ ℕ0
30 4nn0 11188 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11388 . . . . 5 48 ∈ ℕ0
3231, 27deccl 11388 . . . 4 487 ∈ ℕ0
334, 14deccl 11388 . . . . 5 185 ∈ ℕ0
342, 2deccl 11388 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
3534, 27deccl 11388 . . . . . 6 117 ∈ ℕ0
3626, 3deccl 11388 . . . . . . 7 68 ∈ ℕ0
37 9nn0 11193 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
3830, 37deccl 11388 . . . . . . . 8 49 ∈ ℕ0
392, 37deccl 11388 . . . . . . . . 9 19 ∈ ℕ0
4038nn0zi 11279 . . . . . . . . . . 11 49 ∈ ℤ
4139nn0zi 11279 . . . . . . . . . . 11 19 ∈ ℤ
42 gcdcom 15073 . . . . . . . . . . 11 ((49 ∈ ℤ ∧ 19 ∈ ℤ) → (49 gcd 19) = (19 gcd 49))
4340, 41, 42mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (49 gcd 19) = (19 gcd 49)
44 9nn 11069 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
452, 44decnncl 11394 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℕ
46 1nn 10908 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
472, 46decnncl 11394 . . . . . . . . . . . 12 11 ∈ ℕ
48 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 19 = 19
49 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 11 = 11
50 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5150mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 2) = 2
5251, 22oveq12i 6561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
53 2p2e4 11021 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
5452, 53eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
55 8p1e9 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 1) = 9
56 9t2e18 11539 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 2) = 18
572, 3, 55, 56decsuc 11411 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 2) + 1) = 19
582, 37, 2, 2, 48, 49, 13, 37, 2, 54, 57decmac 11442 . . . . . . . . . . . 12 ((19 · 2) + 11) = 49
59 1lt9 11106 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
602, 2, 44, 59declt 11406 . . . . . . . . . . . 12 11 < 19
6145, 13, 47, 58, 60ndvdsi 14974 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 49
62 19prm 15663 . . . . . . . . . . . 12 19 ∈ ℙ
63 coprm 15261 . . . . . . . . . . . 12 ((19 ∈ ℙ ∧ 49 ∈ ℤ) → (¬ 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1))
6462, 40, 63mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 19 ∥ 49 ↔ (19 gcd 49) = 1)
6561, 64mpbi 219 . . . . . . . . . 10 (19 gcd 49) = 1
6643, 65eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (49 gcd 19) = 1
67 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 49 = 49
68 4cn 10975 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
6968mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
7069, 22oveq12i 6561 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
71 4p2e6 11039 . . . . . . . . . . 11 (4 + 2) = 6
7270, 71eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
73 9cn 10985 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℂ
7473mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 9
7574oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
76 9p9e18 11503 . . . . . . . . . . 11 (9 + 9) = 18
7775, 76eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = 18
7830, 37, 2, 37, 67, 48, 2, 3, 2, 72, 77decma2c 11444 . . . . . . . . 9 ((1 · 49) + 19) = 68
792, 39, 38, 66, 78gcdi 15615 . . . . . . . 8 (68 gcd 49) = 1
80 eqid 2610 . . . . . . . . 9 68 = 68
81 6cn 10979 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
8281mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · 6) = 6
83 4p1e5 11031 . . . . . . . . . . 11 (4 + 1) = 5
8482, 83oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((1 · 6) + (4 + 1)) = (6 + 5)
85 6p5e11 11476 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
8684, 85eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((1 · 6) + (4 + 1)) = 11
87 8cn 10983 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
8887mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · 8) = 8
8988oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((1 · 8) + 9) = (8 + 9)
90 9p8e17 11502 . . . . . . . . . . 11 (9 + 8) = 17
9173, 87, 90addcomli 10107 . . . . . . . . . 10 (8 + 9) = 17
9289, 91eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((1 · 8) + 9) = 17
9326, 3, 30, 37, 80, 67, 2, 27, 2, 86, 92decma2c 11444 . . . . . . . 8 ((1 · 68) + 49) = 117
942, 38, 36, 79, 93gcdi 15615 . . . . . . 7 (117 gcd 68) = 1
95 eqid 2610 . . . . . . . 8 117 = 117
96 6p1e7 11033 . . . . . . . . . 10 (6 + 1) = 7
9727dec0h 11398 . . . . . . . . . 10 7 = 07
9896, 97eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 07
99 1t1e1 11052 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
100 00id 10090 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
10199, 100oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
102 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
103102addid1i 10102 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
104101, 103eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10599oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 7) = (1 + 7)
106 7cn 10981 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
107 7p1e8 11034 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
108106, 102, 107addcomli 10107 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = 8
1093dec0h 11398 . . . . . . . . . 10 8 = 08
110105, 108, 1093eqtri 2636 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 7) = 08
1112, 2, 16, 27, 49, 98, 2, 3, 16, 104, 110decma2c 11444 . . . . . . . 8 ((1 · 11) + (6 + 1)) = 18
112106mulid2i 9922 . . . . . . . . . 10 (1 · 7) = 7
113112oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((1 · 7) + 8) = (7 + 8)
114 8p7e15 11493 . . . . . . . . . 10 (8 + 7) = 15
11587, 106, 114addcomli 10107 . . . . . . . . 9 (7 + 8) = 15
116113, 115eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((1 · 7) + 8) = 15
11734, 27, 26, 3, 95, 80, 2, 14, 2, 111, 116decma2c 11444 . . . . . . 7 ((1 · 117) + 68) = 185
1182, 36, 35, 94, 117gcdi 15615 . . . . . 6 (185 gcd 117) = 1
119 eqid 2610 . . . . . . 7 185 = 185
120 eqid 2610 . . . . . . . 8 18 = 18
1212, 2, 22, 49decsuc 11411 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
122 2t1e2 11053 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
123122, 22oveq12i 6561 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
124123, 53eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
125 8t2e16 11530 . . . . . . . . . 10 (8 · 2) = 16
12687, 50, 125mulcomli 9926 . . . . . . . . 9 (2 · 8) = 16
127 6p2e8 11046 . . . . . . . . 9 (6 + 2) = 8
1282, 26, 13, 126, 127decaddi 11455 . . . . . . . 8 ((2 · 8) + 2) = 18
1292, 3, 2, 13, 120, 121, 13, 3, 2, 124, 128decma2c 11444 . . . . . . 7 ((2 · 18) + (11 + 1)) = 48
130 5cn 10977 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
131 5t2e10 11510 . . . . . . . . 9 (5 · 2) = 10
132130, 50, 131mulcomli 9926 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
133106addid2i 10103 . . . . . . . 8 (0 + 7) = 7
1342, 16, 27, 132, 133decaddi 11455 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 7) = 17
1354, 14, 34, 27, 119, 95, 13, 27, 2, 129, 134decma2c 11444 . . . . . 6 ((2 · 185) + 117) = 487
13613, 35, 33, 118, 135gcdi 15615 . . . . 5 (487 gcd 185) = 1
137 eqid 2610 . . . . . 6 487 = 487
138 eqid 2610 . . . . . . 7 48 = 48
1392, 3, 55, 120decsuc 11411 . . . . . . 7 (18 + 1) = 19
14030, 3, 2, 37, 138, 139, 2, 27, 2, 72, 92decma2c 11444 . . . . . 6 ((1 · 48) + (18 + 1)) = 67
141112oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
142 7p5e12 11483 . . . . . . 7 (7 + 5) = 12
143141, 142eqtri 2632 . . . . . 6 ((1 · 7) + 5) = 12
14431, 27, 4, 14, 137, 119, 2, 13, 2, 140, 143decma2c 11444 . . . . 5 ((1 · 487) + 185) = 672
1452, 33, 32, 136, 144gcdi 15615 . . . 4 (672 gcd 487) = 1
146 eqid 2610 . . . . 5 672 = 672
147 eqid 2610 . . . . . 6 67 = 67
14830, 3, 55, 138decsuc 11411 . . . . . 6 (48 + 1) = 49
14971oveq2i 6560 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 2)) = ((2 · 6) + 6)
150 6t2e12 11517 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
15181, 50, 150mulcomli 9926 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
15281, 50, 127addcomli 10107 . . . . . . . 8 (2 + 6) = 8
1532, 13, 26, 151, 152decaddi 11455 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 6) = 18
154149, 153eqtri 2632 . . . . . 6 ((2 · 6) + (4 + 2)) = 18
155 7t2e14 11524 . . . . . . . 8 (7 · 2) = 14
156106, 50, 155mulcomli 9926 . . . . . . 7 (2 · 7) = 14
157 9p4e13 11498 . . . . . . . 8 (9 + 4) = 13
15873, 68, 157addcomli 10107 . . . . . . 7 (4 + 9) = 13
1592, 30, 37, 156, 22, 9, 158decaddci 11456 . . . . . 6 ((2 · 7) + 9) = 23
16026, 27, 30, 37, 147, 148, 13, 9, 13, 154, 159decma2c 11444 . . . . 5 ((2 · 67) + (48 + 1)) = 183
161 2t2e4 11054 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
162161oveq1i 6559 . . . . . 6 ((2 · 2) + 7) = (4 + 7)
163 7p4e11 11481 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
164106, 68, 163addcomli 10107 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
165162, 164eqtri 2632 . . . . 5 ((2 · 2) + 7) = 11
16628, 13, 31, 27, 146, 137, 13, 2, 2, 160, 165decma2c 11444 . . . 4 ((2 · 672) + 487) = 1831
16713, 32, 29, 145, 166gcdi 15615 . . 3 (1831 gcd 672) = 1
168 eqid 2610 . . . . . 6 183 = 183
16928nn0cni 11181 . . . . . . 7 67 ∈ ℂ
170169addid1i 10102 . . . . . 6 (67 + 0) = 67
171102addid2i 10103 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
17299, 171oveq12i 6561 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
173172, 22eqtri 2632 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
17488oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 7) = (8 + 7)
175174, 114eqtri 2632 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 7) = 15
1762, 3, 16, 27, 120, 98, 2, 14, 2, 173, 175decma2c 11444 . . . . . 6 ((1 · 18) + (6 + 1)) = 25
177 3cn 10972 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
178177mulid2i 9922 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
179178oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
180 7p3e10 11479 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
181106, 177, 180addcomli 10107 . . . . . . 7 (3 + 7) = 10
182179, 181eqtri 2632 . . . . . 6 ((1 · 3) + 7) = 10
1834, 9, 26, 27, 168, 170, 2, 16, 2, 176, 182decma2c 11444 . . . . 5 ((1 · 183) + (67 + 0)) = 250
18499oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
185 1p2e3 11029 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
1869dec0h 11398 . . . . . 6 3 = 03
187184, 185, 1863eqtri 2636 . . . . 5 ((1 · 1) + 2) = 03
18810, 2, 28, 13, 23, 146, 2, 9, 16, 183, 187decma2c 11444 . . . 4 ((1 · 1831) + 672) = 2503
189188, 12eqtr4i 2635 . . 3 ((1 · 1831) + 672) = 𝑁
1902, 29, 11, 167, 189gcdi 15615 . 2 (𝑁 gcd 1831) = 1
1918, 11, 20, 25, 190gcdmodi 15616 1 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  0cn0 11169  cz 11254  cdc 11369  cexp 12722  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  2503prm  15685
  Copyright terms: Public domain W3C validator