MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 15666
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 11187 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 11067 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11394 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 11192 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 11188 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11388 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 11191 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 11185 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 11551 . . 3 7 < 10
10 8nn 11068 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 11555 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 11422 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11408 . 2 37 < 841
14 3nn 11063 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 11557 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 11422 . 2 1 < 37
17 3t2e6 11056 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 10961 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 15605 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 11186 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 11388 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 10908 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 11190 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 11033 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2610 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 10972 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 9921 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 6559 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 10102 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2632 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 11398 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2632 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11465 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 11411 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 11073 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 14974 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 11062 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 11079 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 11042 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 15607 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 11189 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 11527 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11455 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 11090 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 14974 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 11394 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 11064 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2610 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 9922 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 6559 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 10907 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 11040 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 10107 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 11452 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 11554 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 11422 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 14974 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 11394 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2610 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 10968 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 9922 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 23, 63, 17decmul1 11461 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 11028 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 11446 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 11406 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 14974 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 11394 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2610 . . . 4 17 = 17
711dec0h 11398 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 11009 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 11524 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 11455 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 11442 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 11422 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 14974 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 11394 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 11394 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 11193 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 10907 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 9921 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2610 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 11011 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 6559 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2632 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 11502 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 11448 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 11099 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 11406 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 14974 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 11394 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 11394 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 10907 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 9921 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2610 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 11446 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 11071 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 11408 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 14974 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 15665 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  1259prm  15681
  Copyright terms: Public domain W3C validator