MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 37prm 15092
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 10887 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 10772 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 11064 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 10892 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 10888 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 11065 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 10891 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 10885 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 10814 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 10773 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 10818 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 11076 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11073 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 10768 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 10820 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 11076 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 10761 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 10673 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 15035 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 10886 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 11065 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 10620 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 10890 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 10738 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2451 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 10884 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 10684 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 9645 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 6300 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 9820 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 11067 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11099 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 11074 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 10778 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 14391 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 10767 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 10784 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 10747 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 15037 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 10889 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 11136 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11095 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 10795 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 14391 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 10769 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2451 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 11067 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 9646 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 9808 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 6302 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2473 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 6300 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 10619 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 10745 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 11067 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2473 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 10817 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 11076 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 14391 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2451 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 9646 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 6300 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 9820 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 11098 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 10733 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 11092 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 11072 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 14391 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2451 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 11067 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 10721 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 6302 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2473 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 11133 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 11095 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 11076 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 14391 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 10774 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 10893 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 10619 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 9645 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2451 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 10723 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 6300 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2473 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 11119 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 11093 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 10804 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 11072 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 14391 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 11064 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 10619 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 9645 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2451 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 11092 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 10776 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 11073 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 14391 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 15091 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1887  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   7c7 10664   8c8 10665   9c9 10666  ;cdc 11051   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-prm 14623
This theorem is referenced by:  1259prm  15107
  Copyright terms: Public domain W3C validator