MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Unicode version

Theorem 37prm 14457
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 10809 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 10694 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 10985 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 10814 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 10810 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 10986 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 10813 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 10807 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 10736 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 10695 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 10740 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 10997 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 10994 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 10690 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 10742 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 10997 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 10683 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 10595 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 14401 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 10808 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 10986 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 10543 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 10812 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 10660 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2467 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 10806 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 10606 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 9594 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 6292 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 9762 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 10988 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11020 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 10995 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 10700 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 13920 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 10689 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 10706 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 10669 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 14403 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 10811 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 11057 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11016 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 10717 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 13920 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 10691 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 10988 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 9595 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 9750 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 6292 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 10542 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 10667 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9767 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 10988 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 11011 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 10739 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 10997 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 13920 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2467 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 10602 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 9595 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 6292 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 9762 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 11019 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 10655 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 11013 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 10993 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 13920 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 10988 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 10643 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 11054 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 11016 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 11011 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 10997 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 13920 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 10696 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 10815 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 10542 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 9594 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 10645 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 6292 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 11040 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 11014 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 10726 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 10993 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 13920 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 10985 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 10542 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 9594 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 11013 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 10698 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 10994 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 13920 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 14456 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   7c7 10586   8c8 10587   9c9 10588  ;cdc 10972   Primecprime 14069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-dvds 13841  df-prm 14070
This theorem is referenced by:  1259prm  14469
  Copyright terms: Public domain W3C validator