MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Unicode version

Theorem 37prm 14618
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 10834 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 10719 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 11013 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 10839 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 10835 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 11014 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 10838 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 10832 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 10761 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 10720 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 10765 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 11025 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11022 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 10715 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 10767 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 11025 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 10708 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 10620 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 14561 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 10833 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 11014 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 10567 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 10837 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 10685 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2457 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 10831 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 10631 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 9615 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 9784 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 11016 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11048 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 11023 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 10725 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 14080 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 10714 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 10731 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 10694 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 14563 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 10836 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 11085 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11044 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 10742 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 14080 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 10716 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 11016 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 9616 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 9772 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 10566 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 10692 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9789 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 11016 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 11039 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 10764 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 11025 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 14080 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2457 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 10627 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 9616 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 9784 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 11047 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 10680 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 11041 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 11021 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 14080 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 11016 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 10668 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 11082 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 11044 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 11039 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 11025 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 14080 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 10721 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 10840 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 10566 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 9615 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 10670 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 11068 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 11042 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 10751 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 11021 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 14080 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 11013 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 10566 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 9615 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 11041 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 10723 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 11022 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 14080 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 14617 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   5c5 10609   6c6 10610   7c7 10611   8c8 10612   9c9 10613  ;cdc 11000   Primecprime 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230
This theorem is referenced by:  1259prm  14630
  Copyright terms: Public domain W3C validator