MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Unicode version

Theorem 37prm 14130
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm  |- ; 3 7  e.  Prime

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 10584 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 7nn 10471 . . 3  |-  7  e.  NN
31, 2decnncl 10755 . 2  |- ; 3 7  e.  NN
4 8nn0 10589 . . . 4  |-  8  e.  NN0
5 4nn0 10585 . . . 4  |-  4  e.  NN0
64, 5deccl 10756 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
7 7nn0 10588 . . 3  |-  7  e.  NN0
8 1nn0 10582 . . 3  |-  1  e.  NN0
9 7lt10 10513 . . 3  |-  7  <  10
10 8nn 10472 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 3lt10 10517 . . . 4  |-  3  <  10
1210, 5, 1, 11declti 10767 . . 3  |-  3  < ; 8
4
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 10764 . 2  |- ; 3 7  < ;; 8 4 1
14 3nn 10467 . . 3  |-  3  e.  NN
15 1lt10 10519 . . 3  |-  1  <  10
1614, 7, 8, 15declti 10767 . 2  |-  1  < ; 3
7
17 3t2e6 10460 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
18 df-7 10372 . . 3  |-  7  =  ( 6  +  1 )
191, 1, 17, 18dec2dvds 14074 . 2  |-  -.  2  || ; 3 7
20 2nn0 10583 . . . 4  |-  2  e.  NN0
218, 20deccl 10756 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
22 1nn 10320 . . 3  |-  1  e.  NN
23 6nn0 10587 . . . 4  |-  6  e.  NN0
24 6p1e7 10437 . . . 4  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2433 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
26 0nn0 10581 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
27 3cn 10383 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
2827mulid1i 9375 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
2928oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
3027addid1i 9543 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
3129, 30eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  3
3223dec0h 10758 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
3317, 32eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 10790 . . . 4  |-  ( 3  x. ; 1 2 )  = ; 3
6
351, 23, 24, 34decsuc 10765 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 2 )  +  1 )  = ; 3 7
36 1lt3 10477 . . 3  |-  1  <  3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 13596 . 2  |-  -.  3  || ; 3 7
38 2nn 10466 . . 3  |-  2  e.  NN
39 2lt5 10483 . . 3  |-  2  <  5
40 5p2e7 10446 . . 3  |-  ( 5  +  2 )  =  7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 14076 . 2  |-  -.  5  || ; 3 7
42 5nn0 10586 . . 3  |-  5  e.  NN0
43 7t5e35 10827 . . . 4  |-  ( 7  x.  5 )  = ; 3
5
441, 42, 20, 43, 40decaddi 10786 . . 3  |-  ( ( 7  x.  5 )  +  2 )  = ; 3
7
45 2lt7 10494 . . 3  |-  2  <  7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 13596 . 2  |-  -.  7  || ; 3 7
478, 22decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
48 4nn 10468 . . 3  |-  4  e.  NN
49 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
505dec0h 10758 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
5127mulid2i 9376 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
52 00id 9531 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
5351, 52oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 3  +  0 )
5453, 30eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  3
5551oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  ( 3  +  4 )
5648nncni 10319 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
57 4p3e7 10444 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  3 )  =  7
5856, 27, 57addcomli 9548 . . . . . 6  |-  ( 3  +  4 )  =  7
5955, 58eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  =  7
607dec0h 10758 . . . . 5  |-  7  = ; 0 7
6159, 60eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  4 )  = ; 0
7
628, 8, 26, 5, 49, 50, 1, 7, 26, 54, 61decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  +  4 )  = ; 3
7
63 4lt10 10516 . . . 4  |-  4  <  10
6422, 8, 5, 63declti 10767 . . 3  |-  4  < ; 1
1
6547, 1, 48, 62, 64ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 3 7
668, 14decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
67 eqid 2433 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
68 2cn 10379 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
6968mulid2i 9376 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7069oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
7168addid1i 9543 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
7270, 71eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7320, 8, 1, 67, 23, 26, 72, 33decmul1c 10789 . . . 4  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
74 2p1e3 10432 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7520, 23, 8, 8, 73, 49, 74, 24decadd 10783 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  + ; 1 1 )  = ; 3
7
768, 8, 14, 36declt 10763 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 3
7766, 20, 47, 75, 76ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 3 7
788, 2decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
79 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
801dec0h 10758 . . . 4  |-  3  = ; 0 3
81 0p1e1 10420 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8269, 81oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
8382, 74eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
84 7t2e14 10824 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
858, 5, 1, 84, 57decaddi 10786 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  3 )  = ; 1
7
868, 7, 26, 1, 79, 80, 20, 7, 8, 83, 85decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  3 )  = ; 3
7
8722, 7, 1, 11declti 10767 . . 3  |-  3  < ; 1
7
8878, 20, 14, 86, 87ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 3 7
89 9nn 10473 . . . 4  |-  9  e.  NN
908, 89decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
918, 10decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 8  e.  NN
92 9nn0 10590 . . . 4  |-  9  e.  NN0
9390nncni 10319 . . . . 5  |- ; 1 9  e.  CC
9493mulid1i 9375 . . . 4  |-  (; 1 9  x.  1 )  = ; 1 9
95 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 8  = ; 1 8
96 1p1e2 10422 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9796oveq1i 6090 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9897, 74eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  +  1 )  =  3
99 9p8e17 10810 . . . 4  |-  ( 9  +  8 )  = ; 1
7
1008, 92, 8, 4, 94, 95, 98, 7, 99decaddc 10784 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  1 )  + ; 1 8 )  = ; 3
7
101 8lt9 10503 . . . 4  |-  8  <  9
1028, 4, 89, 101declt 10763 . . 3  |- ; 1 8  < ; 1 9
10390, 8, 91, 100, 102ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 3 7
10420, 14decnncl 10755 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
1058, 48decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
106104nncni 10319 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
107106mulid1i 9375 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
108 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
10920, 1, 8, 5, 107, 108, 74, 58decadd 10783 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 1 4 )  = ; 3
7
110 1lt2 10475 . . . 4  |-  1  <  2
1118, 20, 5, 1, 63, 110decltc 10764 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
112104, 8, 105, 109, 111ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 3 7
1133, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 65, 77, 88, 103, 112prmlem2 14129 1  |- ; 3 7  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   2c2 10358   3c3 10359   4c4 10360   5c5 10361   6c6 10362   7c7 10363   8c8 10364   9c9 10365  ;cdc 10742   Primecprime 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-prm 13746
This theorem is referenced by:  1259prm  14142
  Copyright terms: Public domain W3C validator