Theorem dec5dvds2 15607

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5
dec5dvds2.4	⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dec5dvds.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		dec5dvds.3	. . 3 ⊢ 𝐵 < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 15606	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵
5		5nn0 11189	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 11279	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
7	2	nnnn0i 11177	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	1, 7	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 11279	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ
10		dvdsadd 14862	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵)))
11	6, 9, 10	mp2an 704	. . 3 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵))
12		0nn0 11184	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	5	dec0h 11398	. . . . 5 ⊢ 5 = ;05
14		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
15	1	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	addid2i 10103	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 ⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 11446	. . . 4 ⊢ (5 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐶
19	18	breq2i 4591	. . 3 ⊢ (5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
20	11, 19	bitri 263	. 2 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
21	4, 20	mtbi 311	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953  ℕcn 10897  5c5 10950  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  37prm  15666  139prm  15669  317prm  15671  257prm  40011  139prmALT  40049  127prm  40053