Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlema 24989
 Description: Lemma for dchrvmasum 25014 and dchrvmasumif 24992. Apply dchrisum 24981 for the function log(𝑦) / 𝑦, which is decreasing above e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumlema.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 fveq2 6103 . . . 4 (𝑛 = 𝑥 → (log‘𝑛) = (log‘𝑥))
10 id 22 . . . 4 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
119, 10oveq12d 6567 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → ((log‘𝑛) / 𝑛) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
12 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
14 relogcl 24126 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
15 rerpdivcl 11737 . . . . 5 (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1614, 15mpancom 700 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
18 simp3r 1083 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
19 simp2l 1080 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2019rpred 11748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 ere 14658 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ∈ ℝ)
23 3re 10971 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ∈ ℝ)
25 egt2lt3 14773 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
2625simpri 477 . . . . . . . 8 e < 3
2721, 23, 26ltleii 10039 . . . . . . 7 e ≤ 3
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 3)
29 simp3l 1082 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ≤ 𝑛)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 10073 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑛)
31 simp2r 1081 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3231rpred 11748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3322, 20, 32, 30, 18letrd 10073 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑥)
34 logdivle 24172 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 1319 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3618, 35mpbid 221 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
37 rpcn 11717 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
3837cxp1d 24252 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛𝑐1) = 𝑛)
3938oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1)) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
4039mpteq2ia 4668 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛))
41 1rp 11712 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
42 cxploglim 24504 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4341, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4440, 43syl5eqbrr 4619 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
45 dchrvmasumlema.f . . . 4 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
46 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑛))
4746fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
48 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
49 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
5048, 49oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → ((log‘𝑎) / 𝑎) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
5147, 50oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5251cbvmptv 4678 . . . 4 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5345, 52eqtri 2632 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 53dchrisum 24981 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))))
55 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑦))
5655fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)))
5756oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡))
5857fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)))
59 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
60 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
6159, 60oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
6261oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6358, 62breq12d 4596 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6463cbvralv 3147 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6564anbi2i 726 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6665rexbii 3023 . . 3 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6766exbii 1764 . 2 (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6854, 67sylib 207 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  ⌊cfl 12453  seqcseq 12663  abscabs 13822   ⇝ cli 14063   ⇝𝑟 crli 14064  eceu 14632  Basecbs 15695  0gc0g 15923  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670  logclog 24105  ↑𝑐ccxp 24106  DChrcdchr 24757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-phi 15309  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-dchr 24758 This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  24992
 Copyright terms: Public domain W3C validator