MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem1 25078
Description: Lemma for pntibnd 25082. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2 4nn 11064 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
3 nnrp 11718 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4 rpreccl 11733 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (1 / 4) ∈ ℝ+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 3nn 11063 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
8 nnrp 11718 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
10 rpaddcl 11730 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
116, 9, 10sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
12 rpdivcl 11732 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
135, 11, 12sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
141, 13syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1514rpred 11748 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1614rpgt0d 11751 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐿)
17 rpcn 11717 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℂ
1918div1i 10632 . . . . 5 ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
20 rpre 11715 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
215, 20mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
22 3re 10971 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
2411rpred 11748 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
25 1lt4 11076 . . . . . . . . 9 1 < 4
26 4re 10974 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
27 4pos 10993 . . . . . . . . . 10 0 < 4
28 recgt1 10798 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
2926, 27, 28mp2an 704 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3025, 29mpbi 219 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
31 1lt3 11073 . . . . . . . 8 1 < 3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℝ
33 1re 9918 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3432, 33, 22lttri 10042 . . . . . . . 8 (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
3530, 31, 34mp2an 704 . . . . . . 7 (1 / 4) < 3
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < 3)
37 ltaddrp 11743 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
3822, 6, 37sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
39 3cn 10972 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
406rpcnd 11750 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
41 addcom 10101 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4239, 40, 41sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4338, 42breqtrd 4609 . . . . . 6 (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 10077 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
4519, 44syl5eqbr 4618 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
4633a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47 0lt1 10429 . . . . . 6 0 < 1
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
4911rpregt0d 11754 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
50 ltdiv23 10793 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5245, 51mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
531, 52syl5eqbr 4618 . 2 (𝜑𝐿 < 1)
54 0xr 9965 . . 3 0 ∈ ℝ*
5533rexri 9976 . . 3 1 ∈ ℝ*
56 elioo2 12087 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1)))
5754, 55, 56mp2an 704 . 2 (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1))
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1239 1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  *cxr 9952   < clt 9953  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  3c3 10948  4c4 10949  +crp 11708  (,)cioo 12046  ψcchp 24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-rp 11709  df-ioo 12050
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  25079  pntibndlem2  25080  pntibnd  25082
  Copyright terms: Public domain W3C validator