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Theorem sqrlem7 13837
 Description: Lemma for 01sqrex 13838. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 sqrlem1.2 . . 3 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3 sqrlem5.3 . . 3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
41, 2, 3sqrlem6 13836 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
51, 2sqrlem3 13833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
65adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦))
71, 2sqrlem4 13834 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
98simpld 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10 rpre 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 rpre 11715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
147, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514resqcld 12897 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
1611, 15resubcld 10337 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
1815, 11posdifd 10493 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
1918biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
2017, 19elrpd 11745 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ+)
21 3re 10971 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
22 3pos 10991 . . . . . . . 8 0 < 3
2321, 22elrpii 11711 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ+
24 rpdivcl 11732 . . . . . . 7 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ+)
2520, 23, 24sylancl 693 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ+)
269, 25rpaddcld 11763 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ+)
2714adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2827recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
29 3nn 11063 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
30 nndivre 10933 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3116, 29, 30sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
3332recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
34 binom2 12841 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
3528, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
3615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
3736recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
38 2re 10967 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3927, 32remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
40 remulcl 9900 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
4138, 39, 40sylancr 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
4241recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
4332resqcld 12897 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
4443recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
4537, 42, 44addassd 9941 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
4635, 45eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
47 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
48 mulass 9903 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
4947, 48mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5028, 33, 49syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5150eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
5233sqvald 12867 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
5351, 52oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
54 remulcl 9900 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5538, 27, 54sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
5655recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5756, 33, 33adddird 9944 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
5853, 57eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
597simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
60 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
61 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
62 lemul2 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6361, 62mp3an2 1404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6438, 60, 63mpanr12 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6514, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
6659, 65mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
68 2t1e2 11053 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
6967, 68syl6breq 4624 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
7011adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
7161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7227sqge0d 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
7370, 36addge01d 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
7472, 73mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
7570, 36, 70lesubaddd 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
7674, 75mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
77 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
7817, 70, 71, 76, 77letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
79 1le3 11121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≤ 3
80 letr 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8161, 21, 80mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8217, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8379, 82mpan2i 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
8478, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
85 3t1e3 11055 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 1) = 3
8684, 85syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
87 ledivmul 10778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8861, 87mp3an2 1404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
8921, 22, 88mpanr12 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
9017, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
9186, 90mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
92 le2add 10389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9338, 61, 92mpanr12 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9455, 32, 93syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
9569, 91, 94mp2and 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
96 df-3 10957 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
9795, 96syl6breqr 4625 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
9855, 32readdcld 9948 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
9921a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
10098, 99, 25lemul1d 11791 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
10197, 100mpbid 221 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
10217recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
103 3cn 10972 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
104 3ne0 10992 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
105 divcan2 10572 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106103, 104, 105mp3an23 1408 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
107102, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
108101, 107breqtrd 4609 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
10958, 108eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
11041, 43readdcld 9948 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
11136, 110, 70leaddsub2d 10508 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
112109, 111mpbird 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
11346, 112eqbrtrd 4605 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
114 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
115114breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
116 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
117116breq1d 4593 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
118117cbvrabv 3172 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
1191, 118eqtri 2632 . . . . . 6 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ+ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
120115, 119elrab2 3333 . . . . 5 ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ+ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
12126, 113, 120sylanbrc 695 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
122 suprub 10863 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
123122, 2syl6breqr 4625 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
1246, 121, 123syl2anc 691 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
12525rpgt0d 11751 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
12631, 14ltaddposd 10490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
12714, 31readdcld 9948 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
12814, 127ltnled 10063 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
129126, 128bitrd 267 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
130129biimpa 500 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
131125, 130syldan 486 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
132124, 131pm2.65da 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
13315, 11eqleltd 10060 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
1344, 132, 133mpbir2and 959 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℝ+crp 11708  ↑cexp 12722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723 This theorem is referenced by:  01sqrex  13838
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