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Theorem sqrlem7 13062
Description: Lemma for 01sqrex 13063. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . 3  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . 3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem6 13061 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
51, 2sqrlem3 13058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
71, 2sqrlem4 13059 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_ 
1 ) )
98simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  RR+ )
10 rpre 11238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
12 rpre 11238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1514resqcld 12316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
1611, 15resubcld 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
1815, 11posdifd 10151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( B ^ 2 )  <  A  <->  0  <  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
1918biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
2017, 19elrpd 11266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  RR+ )
21 3re 10621 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
22 3pos 10641 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
2321, 22elrpii 11235 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR+
24 rpdivcl 11254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR+ )
2520, 23, 24sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR+ )
269, 25rpaddcld 11283 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  RR+ )
2714adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  RR )
2827recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  CC )
29 3nn 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
30 nndivre 10583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3116, 29, 30sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3332recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )
34 binom2 12263 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  -> 
( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
3528, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
3615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
38 2re 10617 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3927, 32remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )
40 remulcl 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  RR )
4138, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  RR )
4241recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  CC )
4332resqcld 12316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  e.  RR )
4443recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  e.  CC )
4537, 42, 44addassd 9630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )
4635, 45eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )
47 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
48 mulass 9592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  B
)  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
4947, 48mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  B )  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5028, 33, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5150eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
5233sqvald 12287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  =  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )
5351, 52oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
54 remulcl 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
5538, 27, 54sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
5655recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
5756, 33, 33adddird 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5853, 57eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
597simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
60 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
61 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
62 lemul2 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( B  <_ 
1  <->  ( 2  x.  B )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
6361, 62mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
6438, 60, 63mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
6514, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
6659, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
2  x.  B )  <_  ( 2  x.  1 ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
68 2t1e2 10696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
6967, 68syl6breq 4492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  <_ 
2 )
7011adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  e.  RR )
7161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  1  e.  RR )
7227sqge0d 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
7370, 36addge01d 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 0  <_  ( B ^
2 )  <->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
7472, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) )
7570, 36, 70lesubaddd 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  A  <->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
7674, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_  A )
77 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  <_  1 )
7817, 70, 71, 76, 77letrd 9750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
1 )
79 1le3 10764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  3
80 letr 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  -> 
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8161, 21, 80mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  -> 
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8217, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8379, 82mpan2i 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8478, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
3 )
85 3t1e3 10698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8684, 85syl6breqr 4493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 3  x.  1 ) )
87 ledivmul 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  -> 
( ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 )  <_  1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
8861, 87mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
8921, 22, 88mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1  <->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 3  x.  1 ) ) )
9017, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9186, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1 )
92 le2add 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )  /\  ( 2  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  <_  2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9338, 61, 92mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  <_ 
2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1 )  ->  (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9455, 32, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  <_  2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9569, 91, 94mp2and 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 2  +  1 ) )
96 df-3 10607 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
9795, 96syl6breqr 4493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
3 )
9855, 32readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  RR )
9921a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  3  e.  RR )
10098, 99, 25lemul1d 11307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  3  <->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
10197, 100mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
10217recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  CC )
103 3cn 10622 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
104 3ne0 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
105 divcan2 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
106103, 104, 105mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
107102, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 3  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
108101, 107breqtrd 4477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
10958, 108eqbrtrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
11041, 43readdcld 9635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  e.  RR )
11136, 110, 70leaddsub2d 10166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) )  <_  A  <->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
112109, 111mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) )  <_  A )
11346, 112eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A )
114 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 ) )
115114breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  <_  A  <->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A ) )
116 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
117116breq1d 4463 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
118117cbvrabv 3117 . . . . . . 7  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  =  {
y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
1191, 118eqtri 2496 . . . . . 6  |-  S  =  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
120115, 119elrab2 3268 . . . . 5  |-  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  S  <->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR+  /\  (
( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A ) )
12126, 113, 120sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )
122 suprub 10516 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
123122, 2syl6breqr 4493 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B )
1246, 121, 123syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B )
12525rpgt0d 11271 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )
12631, 14ltaddposd 10148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <->  B  <  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
12714, 31readdcld 9635 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )
12814, 127ltnled 9743 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  <  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B ) )
129126, 128bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B ) )
130129biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  0  <  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B )
131125, 130syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B )
132124, 131pm2.65da 576 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  -.  ( B ^ 2 )  <  A )
13315, 11eqleltd 9740 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( B ^ 2 )  =  A  <->  ( ( B ^ 2 )  <_  A  /\  -.  ( B ^ 2 )  < 
A ) ) )
1344, 132, 133mpbir2and 920 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   supcsup 7912   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598   RR+crp 11232   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  01sqrex  13063
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