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Theorem sqrlem7 12009
Description: Lemma for 01sqrex 12010. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem7
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . 3  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . 3  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . 3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem6 12008 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
51, 2sqrlem3 12005 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
71, 2sqrlem4 12006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_ 
1 ) )
98simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  RR+ )
10 rpre 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
12 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1514resqcld 11504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
1611, 15resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
1716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
1815, 11posdifd 9569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( B ^ 2 )  <  A  <->  0  <  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
1918biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
2017, 19elrpd 10602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  RR+ )
21 3re 10027 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
22 3pos 10040 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
2321, 22elrpii 10571 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR+
24 rpdivcl 10590 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR+ )
2520, 23, 24sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR+ )
269, 25rpaddcld 10619 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  RR+ )
2714adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  RR )
2827recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  B  e.  CC )
29 3nn 10090 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
30 nndivre 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3116, 29, 30sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3231adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )
3332recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )
34 binom2 11451 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  -> 
( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
3528, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^ 2 ) ) )
3615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
38 2re 10025 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3927, 32remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )
40 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  RR )
4138, 39, 40sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  RR )
4241recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  e.  CC )
4332resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  e.  RR )
4443recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  e.  CC )
4537, 42, 44addassd 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )
4635, 45eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) ) )
47 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
48 mulass 9034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  B
)  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
4947, 48mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  B )  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5028, 33, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5150eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  =  ( ( 2  x.  B
)  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
5233sqvald 11475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 )  =  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )
5351, 52oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
54 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR )
5538, 27, 54sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  e.  RR )
5655recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  e.  CC )
5756, 33, 33adddird 9069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
5853, 57eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
597simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
60 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
61 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
62 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( B  <_ 
1  <->  ( 2  x.  B )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
6361, 62mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_  (
2  x.  1 ) ) )
6438, 60, 63mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
6514, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  <_  1  <->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) ) )
6659, 65mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
2  x.  B )  <_  ( 2  x.  1 ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
68 ax-1rid 9016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
6938, 68ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7067, 69syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 2  x.  B )  <_ 
2 )
7111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  e.  RR )
7261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  1  e.  RR )
7327sqge0d 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
7471, 36addge01d 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 0  <_  ( B ^
2 )  <->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
7573, 74mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) )
7671, 36, 71lesubaddd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  A  <->  A  <_  ( A  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
7775, 76mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_  A )
78 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  A  <_  1 )
7917, 71, 72, 77, 78letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
1 )
80 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 3  e.  NN  ->  1  <_  3 )
8129, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  3
82 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  -> 
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8361, 21, 82mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  -> 
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8417, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  /\  1  <_  3 )  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8581, 84mpan2i 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  1  ->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  3 ) )
8679, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
3 )
87 ax-1rid 9016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR  ->  (
3  x.  1 )  =  3 )
8821, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8986, 88syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 3  x.  1 ) )
90 ledivmul 9839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  -> 
( ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 )  <_  1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9161, 90mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9221, 22, 91mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1  <->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 3  x.  1 ) ) )
9317, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1  <->  ( A  -  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 3  x.  1 ) ) )
9489, 93mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1 )
95 le2add 9466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )  /\  ( 2  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )  ->  ( (
( 2  x.  B
)  <_  2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9638, 61, 95mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2  x.  B )  <_ 
2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_ 
1 )  ->  (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9755, 32, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  <_  2  /\  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <_  1 )  -> 
( ( 2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  ( 2  +  1 ) ) )
9870, 94, 97mp2and 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 2  +  1 ) )
99 df-3 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
10098, 99syl6breqr 4212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
3 )
10155, 32readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  B )  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  RR )
10221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  3  e.  RR )
103101, 102, 25lemul1d 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  3  <->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
104100, 103mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( 3  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )
10517recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( A  -  ( B ^
2 ) )  e.  CC )
106 3cn 10028 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
107 3ne0 10041 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
108 divcan2 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
109106, 107, 108mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
110105, 109syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( 3  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  =  ( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
111104, 110breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( 2  x.  B
)  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
11258, 111eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) )
11341, 43readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  e.  RR )
11436, 113, 71leaddsub2d 9584 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( (
( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) )  <_  A  <->  ( (
2  x.  ( B  x.  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) )  <_ 
( A  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
115112, 114mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( B  x.  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) )  +  ( ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ^
2 ) ) )  <_  A )
11646, 115eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A )
117 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 ) )
118117breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  <_  A  <->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A ) )
119 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
120119breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
121120cbvrabv 2915 . . . . . . 7  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  =  {
y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
1221, 121eqtri 2424 . . . . . 6  |-  S  =  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
123118, 122elrab2 3054 . . . . 5  |-  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  S  <->  ( ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR+  /\  (
( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ^ 2 )  <_  A ) )
12426, 116, 123sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )
125 suprub 9925 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
126125, 2syl6breqr 4212 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  e.  S )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B )
1276, 124, 126syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B )
12825rpgt0d 10607 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )
12931, 14ltaddposd 9566 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <->  B  <  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) ) ) )
13014, 31readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  e.  RR )
13114, 130ltnled 9176 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  <  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B ) )
132129, 131bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
0  <  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 )  <->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B ) )
133132biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  0  <  (
( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  ->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^
2 ) )  / 
3 ) )  <_  B )
134128, 133syldan 457 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( B ^
2 )  <  A
)  ->  -.  ( B  +  ( ( A  -  ( B ^ 2 ) )  /  3 ) )  <_  B )
135127, 134pm2.65da 560 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  -.  ( B ^ 2 )  <  A )
13615, 11eqleltd 9173 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( B ^ 2 )  =  A  <->  ( ( B ^ 2 )  <_  A  /\  -.  ( B ^ 2 )  < 
A ) ) )
1374, 135, 136mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   RR+crp 10568   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  01sqrex  12010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338
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