Theorem sqrlem7 12722

Description: Lemma for 01sqrex 12723. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
sqrlem1.2	|- B = sup ( S , RR , < )
sqrlem5.3	|- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }

Assertion

Ref	Expression
sqrlem7	|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   a, b, y, S   x, a, A, b, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x, a, b)   S( x)   T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem7

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . 3 |- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
2		sqrlem1.2	. . 3 |- B = sup ( S , RR , < )
3		sqrlem5.3	. . 3 |- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }
4	1, 2, 3	sqrlem6 12721	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) <_ A )
5	1, 2	sqrlem3 12718	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) )
6	5	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) )
7	1, 2	sqrlem4 12719	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) )
8	7	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) )
9	8	simpld 456	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. RR+ )
10		rpre 10985	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
11	10	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> A e. RR )
12		rpre 10985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
13	12	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) -> B e. RR )
14	7, 13	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B e. RR )
15	14	resqcld 12018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
16	11, 15	resubcld 9764	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR )
17	16	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR )
18	15, 11	posdifd 9914	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( B ^ 2 ) < A <-> 0 < ( A - ( B ^ 2 ) ) ) )
19	18	biimpa 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 < ( A - ( B ^ 2 ) ) )
20	17, 19	elrpd 11013	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR+ )
21		3re 10383	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
22		3pos 10403	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
23	21, 22	elrpii 10982	. . . . . . 7 |- 3 e. RR+
24		rpdivcl 11001	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR+ )
25	20, 23, 24	sylancl 655	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR+ )
26	9, 25	rpaddcld 11030	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR+ )
27	14	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. RR )
28	27	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. CC )
29		3nn 10468	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
30		nndivre 10345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
31	16, 29, 30	sylancl 655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
32	31	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
33	32	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC )
34		binom2 11965	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
35	28, 33, 34	syl2anc 654	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
36	15	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
37	36	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
38		2re 10379	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
39	27, 32	remulcld 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
40		remulcl 9355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. RR )
41	38, 39, 40	sylancr 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. RR )
42	41	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. CC )
43	32	resqcld 12018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
44	43	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
45	37, 42, 44	addassd 9396	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
46	35, 45	eqtrd 2465	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
47		2cn 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
48		mulass 9358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
49	47, 48	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
50	28, 33, 49	syl2anc 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
51	50	eqcomd 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
52	33	sqvald 11989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
53	51, 52	oveq12d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
54		remulcl 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
55	38, 27, 54	sylancr 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
56	55	recnd 9400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) e. CC )
57	56, 33, 33	adddird 9399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
58	53, 57	eqtr4d 2468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
59	7	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B <_ 1 )
60		2pos 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
61		1re 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
62		lemul2 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
63	61, 62	mp3an2 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
64	38, 60, 63	mpanr12 678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
65	14, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
66	59, 65	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) )
67	66	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) )
68		2t1e2 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
69	67, 68	syl6breq 4319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) <_ 2 )
70	11	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A e. RR )
71	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 1 e. RR )
72	27	sqge0d 12019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
73	70, 36	addge01d 9915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 0 <_ ( B ^ 2 ) <-> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) ) )
74	72, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) )
75	70, 36, 70	lesubaddd 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ A <-> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) ) )
76	74, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ A )
77		simplr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A <_ 1 )
78	17, 70, 71, 76, 77	letrd 9516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 )
79		1le3 10526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 <_ 3
80		letr 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
81	61, 21, 80	mp3an23 1299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
82	17, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
83	79, 82	mpan2i 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
84	78, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 )
85		3t1e3 10460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 1 ) = 3
86	84, 85	syl6breqr 4320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) )
87		ledivmul 10193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
88	61, 87	mp3an2 1295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
89	21, 22, 88	mpanr12 678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
90	17, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
91	86, 90	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 )
92		le2add 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR ) /\ ( 2 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
93	38, 61, 92	mpanr12 678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
94	55, 32, 93	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
95	69, 91, 94	mp2and 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) )
96		df-3 10369	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = ( 2 + 1 )
97	95, 96	syl6breqr 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ 3 )
98	55, 32	readdcld 9401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
99	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 3 e. RR )
100	98, 99, 25	lemul1d 11054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ 3 <-> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
101	97, 100	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
102	17	recnd 9400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC )
103		3cn 10384	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
104		3ne0 10404	. . . . . . . . . . 11 |- 3 =/= 0
105		divcan2 9990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
106	103, 104, 105	mp3an23 1299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
107	102, 106	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
108	101, 107	breqtrd 4304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) )
109	58, 108	eqbrtrd 4300	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) )
110	41, 43	readdcld 9401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
111	36, 110, 70	leaddsub2d 9929	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) <_ A <-> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) ) )
112	109, 111	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) <_ A )
113	46, 112	eqbrtrd 4300	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A )
114		oveq1 6087	. . . . . . 7 |- ( y = ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
115	114	breq1d 4290	. . . . . 6 |- ( y = ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ A <-> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A ) )
116		oveq1 6087	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
117	116	breq1d 4290	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) <_ A <-> ( y ^ 2 ) <_ A ) )
118	117	cbvrabv 2961	. . . . . . 7 |- { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A } = { y e. RR+ | ( y ^ 2 ) <_ A }
119	1, 118	eqtri 2453	. . . . . 6 |- S = { y e. RR+ | ( y ^ 2 ) <_ A }
120	115, 119	elrab2 3108	. . . . 5 |- ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S <-> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR+ /\ ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A ) )
121	26, 113, 120	sylanbrc 657	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S )
122		suprub 10279	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) /\ ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ sup ( S , RR , < ) )
123	122, 2	syl6breqr 4320	. . . 4 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) /\ ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
124	6, 121, 123	syl2anc 654	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
125	25	rpgt0d 11018	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) )
126	31, 14	ltaddposd 9911	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <-> B < ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
127	14, 31	readdcld 9401	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
128	14, 127	ltnled 9509	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B < ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <-> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B ) )
129	126, 128	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <-> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B ) )
130	129	biimpa 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
131	125, 130	syldan 467	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
132	124, 131	pm2.65da 571	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> -. ( B ^ 2 ) < A )
133	15, 11	eqleltd 9506	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A <-> ( ( B ^ 2 ) <_ A /\ -. ( B ^ 2 ) < A ) ) )
134	4, 132, 133	mpbir2and 906	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   {cab 2419   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   C_ wss 3316   (/)c0 3625   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   + caddc 9273   x. cmul 9275   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   RR+crp 10979   ^cexp 11849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850

This theorem is referenced by:  01sqrex  12723