Theorem sqrlem7 13094

Description: Lemma for 01sqrex 13095. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
sqrlem1.2	|- B = sup ( S , RR , < )
sqrlem5.3	|- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }

Assertion

Ref	Expression
sqrlem7	|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   a, b, y, S   x, a, A, b, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x, a, b)   S( x)   T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem7

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . 3 |- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
2		sqrlem1.2	. . 3 |- B = sup ( S , RR , < )
3		sqrlem5.3	. . 3 |- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }
4	1, 2, 3	sqrlem6 13093	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) <_ A )
5	1, 2	sqrlem3 13090	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) )
7	1, 2	sqrlem4 13091	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) )
8	7	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) )
9	8	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. RR+ )
10		rpre 11251	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> A e. RR )
12		rpre 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) -> B e. RR )
14	7, 13	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B e. RR )
15	14	resqcld 12339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
16	11, 15	resubcld 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR )
18	15, 11	posdifd 10160	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( B ^ 2 ) < A <-> 0 < ( A - ( B ^ 2 ) ) ) )
19	18	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 < ( A - ( B ^ 2 ) ) )
20	17, 19	elrpd 11279	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR+ )
21		3re 10630	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
22		3pos 10650	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
23	21, 22	elrpii 11248	. . . . . . 7 |- 3 e. RR+
24		rpdivcl 11267	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR+ )
25	20, 23, 24	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR+ )
26	9, 25	rpaddcld 11296	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR+ )
27	14	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. RR )
28	27	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. CC )
29		3nn 10715	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
30		nndivre 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
31	16, 29, 30	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
33	32	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC )
34		binom2 12286	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
35	28, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
36	15	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
37	36	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
38		2re 10626	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
39	27, 32	remulcld 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
40		remulcl 9594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. RR )
41	38, 39, 40	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. RR )
42	41	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. CC )
43	32	resqcld 12339	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
44	43	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
45	37, 42, 44	addassd 9635	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
46	35, 45	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
47		2cn 10627	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
48		mulass 9597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
49	47, 48	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
50	28, 33, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
51	50	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
52	33	sqvald 12310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
53	51, 52	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
54		remulcl 9594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
55	38, 27, 54	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
56	55	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) e. CC )
57	56, 33, 33	adddird 9638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
58	53, 57	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
59	7	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B <_ 1 )
60		2pos 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
61		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
62		lemul2 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
63	61, 62	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
64	38, 60, 63	mpanr12 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
65	14, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
66	59, 65	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) )
68		2t1e2 10705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
69	67, 68	syl6breq 4495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) <_ 2 )
70	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A e. RR )
71	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 1 e. RR )
72	27	sqge0d 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
73	70, 36	addge01d 10161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 0 <_ ( B ^ 2 ) <-> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) ) )
74	72, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) )
75	70, 36, 70	lesubaddd 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ A <-> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) ) )
76	74, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ A )
77		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A <_ 1 )
78	17, 70, 71, 76, 77	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 )
79		1le3 10773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 <_ 3
80		letr 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
81	61, 21, 80	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
82	17, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
83	79, 82	mpan2i 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
84	78, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 )
85		3t1e3 10707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 1 ) = 3
86	84, 85	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) )
87		ledivmul 10439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
88	61, 87	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
89	21, 22, 88	mpanr12 685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
90	17, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
91	86, 90	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 )
92		le2add 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR ) /\ ( 2 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
93	38, 61, 92	mpanr12 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
94	55, 32, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
95	69, 91, 94	mp2and 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) )
96		df-3 10616	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = ( 2 + 1 )
97	95, 96	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ 3 )
98	55, 32	readdcld 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
99	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 3 e. RR )
100	98, 99, 25	lemul1d 11320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ 3 <-> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
101	97, 100	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
102	17	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC )
103		3cn 10631	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
104		3ne0 10651	. . . . . . . . . . 11 |- 3 =/= 0
105		divcan2 10236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
106	103, 104, 105	mp3an23 1316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
107	102, 106	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
108	101, 107	breqtrd 4480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) )
109	58, 108	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) )
110	41, 43	readdcld 9640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
111	36, 110, 70	leaddsub2d 10175	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) <_ A <-> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) ) )
112	109, 111	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) <_ A )
113	46, 112	eqbrtrd 4476	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A )
114		oveq1 6303	. . . . . . 7 |- ( y = ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
115	114	breq1d 4466	. . . . . 6 |- ( y = ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ A <-> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A ) )
116		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
117	116	breq1d 4466	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) <_ A <-> ( y ^ 2 ) <_ A ) )
118	117	cbvrabv 3108	. . . . . . 7 |- { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A } = { y e. RR+ | ( y ^ 2 ) <_ A }
119	1, 118	eqtri 2486	. . . . . 6 |- S = { y e. RR+ | ( y ^ 2 ) <_ A }
120	115, 119	elrab2 3259	. . . . 5 |- ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S <-> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR+ /\ ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A ) )
121	26, 113, 120	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S )
122		suprub 10524	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) /\ ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ sup ( S , RR , < ) )
123	122, 2	syl6breqr 4496	. . . 4 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) /\ ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
124	6, 121, 123	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
125	25	rpgt0d 11284	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) )
126	31, 14	ltaddposd 10157	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <-> B < ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
127	14, 31	readdcld 9640	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
128	14, 127	ltnled 9749	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B < ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <-> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B ) )
129	126, 128	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <-> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B ) )
130	129	biimpa 484	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
131	125, 130	syldan 470	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
132	124, 131	pm2.65da 576	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> -. ( B ^ 2 ) < A )
133	15, 11	eqleltd 9746	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A <-> ( ( B ^ 2 ) <_ A /\ -. ( B ^ 2 ) < A ) ) )
134	4, 132, 133	mpbir2and 922	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   RR+crp 11245   ^cexp 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12111  df-exp 12170

This theorem is referenced by:  01sqrex  13095