Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 40053
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11185 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 11186 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 11067 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11394 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 11192 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11188 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11191 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 11098 . . 3 1 < 8
10 2lt10 11556 . . 3 2 < 10
11 7lt10 11551 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11414 . 2 127 < 841
13 2nn 11062 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11394 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 11557 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11422 . 2 1 < 127
17 3nn0 11187 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 11056 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 10961 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 15605 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 10908 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 11057 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 6559 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 11372 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2632 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 11073 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 14974 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 14894 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 11029 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 10981 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 11479 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 10107 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2632 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 4591 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 263 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 312 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 11079 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 11042 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 15607 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 11388 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2610 . . . 4 18 = 18
461dec0h 11398 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 11189 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 9921 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 10977 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 6561 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 11483 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2632 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 11190 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 10983 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 11537 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 9926 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 11033 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 11455 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 11444 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 11091 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 14974 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 11394 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 11388 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 11066 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2610 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 11398 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 11181 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 9921 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 10103 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 6561 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 11011 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 11455 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2632 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 10979 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 10107 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 11455 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 11444 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 11552 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 11422 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 14974 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 11394 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11193 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 11390 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2610 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2610 . . . 4 10 = 10
88 9cn 10985 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 11497 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 11540 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 9926 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 10102 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 11455 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 11442 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 10991 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 11406 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 14974 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 11394 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 11068 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2610 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 6559 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 11529 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 11031 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 11502 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 11456 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 11453 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 11550 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 11422 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 14974 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 11394 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2610 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 9922 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 11032 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 10107 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 6561 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 11478 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2632 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 11543 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 11040 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 11455 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 11442 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 11104 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 11406 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 14974 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 11394 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2610 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2610 . . . 4 12 = 12
134 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 11510 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 9926 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 6561 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 11429 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2632 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 11511 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 9926 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 11455 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 11442 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 11071 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 11408 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 14974 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 15665 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  m7prm  40054
  Copyright terms: Public domain W3C validator