Theorem 83prm 15668

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 11192	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 11063	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11394	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 11188	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11187	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 11555	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11068	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 11550	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 11422	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11408	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 11557	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 11422	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 10968	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mulid2i 9922	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 10957	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 15605	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 11186	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 11191	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 11062	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 11184	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 11056	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 11046	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 10972	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 11525	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 11029	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 11455	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 11072	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 11078	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 15606	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 11067	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 11066	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 11177	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulid1i 9921	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 9873	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 11034	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 11484	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 11444	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 11086	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 10908	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 10907	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 9925	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 11552	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 11422	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 11065	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 11177	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 10979	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mulid2i 9922	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 11518	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 11011	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 11491	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 11456	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 11442	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 11553	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 11422	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 11181	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mulid2i 9922	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 11030	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 11041	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 11526	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 11028	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 11456	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 11442	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 11087	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 11406	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 11069	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 11193	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 11398	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addid2i 10103	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 11541	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 10107	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 11456	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 11442	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 11551	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 11422	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 11064	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 11394	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 9926	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 11057	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 11498	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 11442	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 11554	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 11071	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 11408	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 15665	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224

This theorem is referenced by:  bpos1  24808