Theorem 83prm 14132

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	|- ; 8 3 e. Prime

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 10589	. . 3 |- 8 e. NN0
2		3nn 10467	. . 3 |- 3 e. NN
3	1, 2	decnncl 10755	. 2 |- ; 8 3 e. NN
4		4nn0 10585	. . . 4 |- 4 e. NN0
5	1, 4	deccl 10756	. . 3 |- ; 8 4 e. NN0
6		3nn0 10584	. . 3 |- 3 e. NN0
7		1nn0 10582	. . 3 |- 1 e. NN0
8		3lt10 10517	. . 3 |- 3 < 10
9		8nn 10472	. . . 4 |- 8 e. NN
10		8lt10 10512	. . . 4 |- 8 < 10
11	9, 4, 1, 10	declti 10767	. . 3 |- 8 < ; 8 4
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 10764	. 2 |- ; 8 3 < ;; 8 4 1
13		1lt10 10519	. . 3 |- 1 < 10
14	9, 6, 7, 13	declti 10767	. 2 |- 1 < ; 8 3
15		2cn 10379	. . . 4 |- 2 e. CC
16	15	mulid2i 9376	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) = 2
17		df-3 10368	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 14074	. 2 |- -. 2 || ; 8 3
19		2nn0 10583	. . . 4 |- 2 e. NN0
20		7nn0 10588	. . . 4 |- 7 e. NN0
21	19, 20	deccl 10756	. . 3 |- ; 2 7 e. NN0
22		2nn 10466	. . 3 |- 2 e. NN
23		0nn0 10581	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		eqid 2433	. . . 4 |- ; 2 7 = ; 2 7
25	19	dec0h 10758	. . . 4 |- 2 = ; 0 2
26		3t2e6 10460	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
27	15	addid2i 9544	. . . . . 6 |- ( 0 + 2 ) = 2
28	26, 27	oveq12i 6092	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
29		6p2e8 10450	. . . . 5 |- ( 6 + 2 ) = 8
30	28, 29	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
31	20	nn0cni 10578	. . . . . 6 |- 7 e. CC
32		3cn 10383	. . . . . 6 |- 3 e. CC
33		7t3e21 10825	. . . . . 6 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
34	31, 32, 33	mulcomli 9380	. . . . 5 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
35		1p2e3 10433	. . . . 5 |- ( 1 + 2 ) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 10786	. . . 4 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 10782	. . 3 |- ( ( 3 x. ; 2 7 ) + 2 ) = ; 8 3
38		2lt3 10476	. . 3 |- 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 13596	. 2 |- -. 3 || ; 8 3
40		3lt5 10482	. . 3 |- 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 14075	. 2 |- -. 5 || ; 8 3
42		7nn 10471	. . 3 |- 7 e. NN
43	7, 7	deccl 10756	. . 3 |- ; 1 1 e. NN0
44		6nn 10470	. . 3 |- 6 e. NN
45	44	nnnn0i 10574	. . . 4 |- 6 e. NN0
46		eqid 2433	. . . 4 |- ; 1 1 = ; 1 1
47	45	dec0h 10758	. . . 4 |- 6 = ; 0 6
48	31	mulid1i 9375	. . . . . 6 |- ( 7 x. 1 ) = 7
49		ax-1cn 9327	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50	49	addid2i 9544	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
51	48, 50	oveq12i 6092	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 7 + 1 )
52		7p1e8 10438	. . . . 5 |- ( 7 + 1 ) = 8
53	51, 52	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 8
54	48	oveq1i 6090	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ( 7 + 6 )
55		7p6e13 10796	. . . . 5 |- ( 7 + 6 ) = ; 1 3
56	54, 55	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 3
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 10782	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 ) = ; 8 3
58		6lt7 10490	. . 3 |- 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 13596	. 2 |- -. 7 || ; 8 3
60		1nn 10320	. . . 4 |- 1 e. NN
61	7, 60	decnncl 10755	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
62	61	nncni 10319	. . . . . 6 |- ; 1 1 e. CC
63	62, 31	mulcomi 9379	. . . . 5 |- (; 1 1 x. 7 ) = ( 7 x. ; 1 1 )
64	63	oveq1i 6090	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 )
65	64, 57	eqtri 2453	. . 3 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ; 8 3
66		6lt10 10514	. . . 4 |- 6 < 10
67	60, 7, 45, 66	declti 10767	. . 3 |- 6 < ; 1 1
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 13596	. 2 |- -. ; 1 1 || ; 8 3
69	7, 2	decnncl 10755	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
70		5nn 10469	. . 3 |- 5 e. NN
71	70	nnnn0i 10574	. . . 4 |- 5 e. NN0
72		eqid 2433	. . . 4 |- ; 1 3 = ; 1 3
73	71	dec0h 10758	. . . 4 |- 5 = ; 0 5
74		6cn 10390	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
75	74	mulid2i 9376	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
76	75, 27	oveq12i 6092	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
77	76, 29	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
78		6t3e18 10820	. . . . . 6 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
79	74, 32, 78	mulcomli 9380	. . . . 5 |- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
80		1p1e2 10422	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
81		8p5e13 10800	. . . . 5 |- ( 8 + 5 ) = ; 1 3
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 10787	. . . 4 |- ( ( 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 2 3
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 10781	. . 3 |- ( (; 1 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 8 3
84		5lt10 10515	. . . 4 |- 5 < 10
85	60, 6, 71, 84	declti 10767	. . 3 |- 5 < ; 1 3
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 13596	. 2 |- -. ; 1 3 || ; 8 3
87	7, 42	decnncl 10755	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
88	7, 70	decnncl 10755	. . 3 |- ; 1 5 e. NN
89		eqid 2433	. . . 4 |- ; 1 7 = ; 1 7
90		eqid 2433	. . . 4 |- ; 1 5 = ; 1 5
91	4	nn0cni 10578	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
92	91	mulid2i 9376	. . . . . 6 |- ( 1 x. 4 ) = 4
93		3p1e4 10434	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 9548	. . . . . 6 |- ( 1 + 3 ) = 4
95	92, 94	oveq12i 6092	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = ( 4 + 4 )
96		4p4e8 10445	. . . . 5 |- ( 4 + 4 ) = 8
97	95, 96	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = 8
98		7t4e28 10826	. . . . 5 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
99		2p1e3 10432	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 10787	. . . 4 |- ( ( 7 x. 4 ) + 5 ) = ; 3 3
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 10781	. . 3 |- ( (; 1 7 x. 4 ) + ; 1 5 ) = ; 8 3
102		5lt7 10491	. . . 4 |- 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 10763	. . 3 |- ; 1 5 < ; 1 7
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 13596	. 2 |- -. ; 1 7 || ; 8 3
105		9nn 10473	. . . 4 |- 9 e. NN
106	7, 105	decnncl 10755	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
107		9nn0 10590	. . . 4 |- 9 e. NN0
108		eqid 2433	. . . 4 |- ; 1 9 = ; 1 9
109	20	dec0h 10758	. . . 4 |- 7 = ; 0 7
110	91	addid2i 9544	. . . . . 6 |- ( 0 + 4 ) = 4
111	92, 110	oveq12i 6092	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = ( 4 + 4 )
112	111, 96	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = 8
113		9t4e36 10839	. . . . 5 |- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
114	31, 74, 55	addcomli 9548	. . . . 5 |- ( 6 + 7 ) = ; 1 3
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 10787	. . . 4 |- ( ( 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 4 3
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 10781	. . 3 |- ( (; 1 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 8 3
117		7lt10 10513	. . . 4 |- 7 < 10
118	60, 107, 20, 117	declti 10767	. . 3 |- 7 < ; 1 9
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 13596	. 2 |- -. ; 1 9 || ; 8 3
120	19, 2	decnncl 10755	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
121		4nn 10468	. . . 4 |- 4 e. NN
122	7, 121	decnncl 10755	. . 3 |- ; 1 4 e. NN
123		eqid 2433	. . . 4 |- ; 2 3 = ; 2 3
124		eqid 2433	. . . 4 |- ; 1 4 = ; 1 4
125	32, 15, 26	mulcomli 9380	. . . . . 6 |- ( 2 x. 3 ) = 6
126	125, 80	oveq12i 6092	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 6 + 2 )
127	126, 29	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = 8
128		3t3e9 10461	. . . . . 6 |- ( 3 x. 3 ) = 9
129	128	oveq1i 6090	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ( 9 + 4 )
130		9p4e13 10806	. . . . 5 |- ( 9 + 4 ) = ; 1 3
131	129, 130	eqtri 2453	. . . 4 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 3
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 10781	. . 3 |- ( (; 2 3 x. 3 ) + ; 1 4 ) = ; 8 3
133		4lt10 10516	. . . 4 |- 4 < 10
134		1lt2 10475	. . . 4 |- 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 10764	. . 3 |- ; 1 4 < ; 2 3
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 13596	. 2 |- -. ; 2 3 || ; 8 3
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 14129	1 |- ; 8 3 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1755  (class class class)co 6080   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   2c2 10358   3c3 10359   4c4 10360   5c5 10361   6c6 10362   7c7 10363   8c8 10364   9c9 10365  ;cdc 10742   Primecprime 13745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-prm 13746

This theorem is referenced by:  bpos1  22506