MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Unicode version

Theorem 83prm 14263
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10708 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 10586 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10874 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10704 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 10875 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10703 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10701 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10636 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10591 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 10631 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 10886 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10883 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 10638 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 10886 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 10498 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 9495 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 10487 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 14205 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 10702 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10707 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 10875 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 10585 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 10700 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2452 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 10877 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 10579 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9663 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 10569 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 10697 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 10502 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 10944 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 9499 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 1p2e3 10552 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 10905 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 10901 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
38 2lt3 10595 . . 3  |-  2  <  3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 13727 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
40 3lt5 10601 . . 3  |-  3  <  5
411, 2, 40dec5dvds 14206 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
42 7nn 10590 . . 3  |-  7  e.  NN
437, 7deccl 10875 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
44 6nn 10589 . . 3  |-  6  e.  NN
4544nnnn0i 10693 . . . 4  |-  6  e.  NN0
46 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4745dec0h 10877 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
4831mulid1i 9494 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
49 ax-1cn 9446 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5049addid2i 9663 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5148, 50oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
52 7p1e8 10557 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5351, 52eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5448oveq1i 6205 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
55 7p6e13 10915 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5654, 55eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 10901 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
58 6lt7 10609 . . 3  |-  6  <  7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 13727 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
60 1nn 10439 . . . 4  |-  1  e.  NN
617, 60decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6261nncni 10438 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6362, 31mulcomi 9498 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6463oveq1i 6205 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6564, 57eqtri 2481 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
66 6lt10 10633 . . . 4  |-  6  <  10
6760, 7, 45, 66declti 10886 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
697, 2decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
70 5nn 10588 . . 3  |-  5  e.  NN
7170nnnn0i 10693 . . . 4  |-  5  e.  NN0
72 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7371dec0h 10877 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
74 6cn 10509 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7574mulid2i 9495 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7675, 27oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7776, 29eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
78 6t3e18 10939 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
7974, 32, 78mulcomli 9499 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
80 1p1e2 10541 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
81 8p5e13 10919 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 10906 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
84 5lt10 10634 . . . 4  |-  5  <  10
8560, 6, 71, 84declti 10886 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
877, 42decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
887, 70decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
89 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
90 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
914nn0cni 10697 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9291mulid2i 9495 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
93 3p1e4 10553 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9432, 49, 93addcomli 9667 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9592, 94oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
96 4p4e8 10564 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9795, 96eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
98 7t4e28 10945 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
99 2p1e3 10551 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 10906 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 10610 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 71, 42, 102declt 10882 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 10592 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10709 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 10877 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11091addid2i 9663 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11192, 110oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 96eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 10958 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 74, 55addcomli 9667 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 10906 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 10632 . . . 4  |-  7  <  10
11860, 107, 20, 117declti 10886 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 10874 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 10587 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2452 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 9499 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 80oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 10580 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 6205 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 10925 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 10635 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 10594 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 10883 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 14260 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393   2c2 10477   3c3 10478   4c4 10479   5c5 10480   6c6 10481   7c7 10482   8c8 10483   9c9 10484  ;cdc 10861   Primecprime 13876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-prm 13877
This theorem is referenced by:  bpos1  22750
  Copyright terms: Public domain W3C validator