Theorem 83prm 14462

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	|- ; 8 3 e. Prime

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 10814	. . 3 |- 8 e. NN0
2		3nn 10690	. . 3 |- 3 e. NN
3	1, 2	decnncl 10985	. 2 |- ; 8 3 e. NN
4		4nn0 10810	. . . 4 |- 4 e. NN0
5	1, 4	deccl 10986	. . 3 |- ; 8 4 e. NN0
6		3nn0 10809	. . 3 |- 3 e. NN0
7		1nn0 10807	. . 3 |- 1 e. NN0
8		3lt10 10740	. . 3 |- 3 < 10
9		8nn 10695	. . . 4 |- 8 e. NN
10		8lt10 10735	. . . 4 |- 8 < 10
11	9, 4, 1, 10	declti 10997	. . 3 |- 8 < ; 8 4
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 10994	. 2 |- ; 8 3 < ;; 8 4 1
13		1lt10 10742	. . 3 |- 1 < 10
14	9, 6, 7, 13	declti 10997	. 2 |- 1 < ; 8 3
15		2cn 10602	. . . 4 |- 2 e. CC
16	15	mulid2i 9595	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) = 2
17		df-3 10591	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 14404	. 2 |- -. 2 || ; 8 3
19		2nn0 10808	. . . 4 |- 2 e. NN0
20		7nn0 10813	. . . 4 |- 7 e. NN0
21	19, 20	deccl 10986	. . 3 |- ; 2 7 e. NN0
22		2nn 10689	. . 3 |- 2 e. NN
23		0nn0 10806	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		eqid 2467	. . . 4 |- ; 2 7 = ; 2 7
25	19	dec0h 10988	. . . 4 |- 2 = ; 0 2
26		3t2e6 10683	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
27	15	addid2i 9763	. . . . . 6 |- ( 0 + 2 ) = 2
28	26, 27	oveq12i 6294	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
29		6p2e8 10673	. . . . 5 |- ( 6 + 2 ) = 8
30	28, 29	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
31	20	nn0cni 10803	. . . . . 6 |- 7 e. CC
32		3cn 10606	. . . . . 6 |- 3 e. CC
33		7t3e21 11055	. . . . . 6 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
34	31, 32, 33	mulcomli 9599	. . . . 5 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
35		1p2e3 10656	. . . . 5 |- ( 1 + 2 ) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 11016	. . . 4 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 11012	. . 3 |- ( ( 3 x. ; 2 7 ) + 2 ) = ; 8 3
38		2lt3 10699	. . 3 |- 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 13923	. 2 |- -. 3 || ; 8 3
40		3lt5 10705	. . 3 |- 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 14405	. 2 |- -. 5 || ; 8 3
42		7nn 10694	. . 3 |- 7 e. NN
43	7, 7	deccl 10986	. . 3 |- ; 1 1 e. NN0
44		6nn 10693	. . 3 |- 6 e. NN
45	44	nnnn0i 10799	. . . 4 |- 6 e. NN0
46		eqid 2467	. . . 4 |- ; 1 1 = ; 1 1
47	45	dec0h 10988	. . . 4 |- 6 = ; 0 6
48	31	mulid1i 9594	. . . . . 6 |- ( 7 x. 1 ) = 7
49		ax-1cn 9546	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50	49	addid2i 9763	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
51	48, 50	oveq12i 6294	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 7 + 1 )
52		7p1e8 10661	. . . . 5 |- ( 7 + 1 ) = 8
53	51, 52	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 8
54	48	oveq1i 6292	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ( 7 + 6 )
55		7p6e13 11026	. . . . 5 |- ( 7 + 6 ) = ; 1 3
56	54, 55	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 3
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 11012	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 ) = ; 8 3
58		6lt7 10713	. . 3 |- 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 13923	. 2 |- -. 7 || ; 8 3
60		1nn 10543	. . . 4 |- 1 e. NN
61	7, 60	decnncl 10985	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
62	61	nncni 10542	. . . . . 6 |- ; 1 1 e. CC
63	62, 31	mulcomi 9598	. . . . 5 |- (; 1 1 x. 7 ) = ( 7 x. ; 1 1 )
64	63	oveq1i 6292	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 )
65	64, 57	eqtri 2496	. . 3 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ; 8 3
66		6lt10 10737	. . . 4 |- 6 < 10
67	60, 7, 45, 66	declti 10997	. . 3 |- 6 < ; 1 1
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 13923	. 2 |- -. ; 1 1 || ; 8 3
69	7, 2	decnncl 10985	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
70		5nn 10692	. . 3 |- 5 e. NN
71	70	nnnn0i 10799	. . . 4 |- 5 e. NN0
72		eqid 2467	. . . 4 |- ; 1 3 = ; 1 3
73	71	dec0h 10988	. . . 4 |- 5 = ; 0 5
74		6cn 10613	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
75	74	mulid2i 9595	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
76	75, 27	oveq12i 6294	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
77	76, 29	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
78		6t3e18 11050	. . . . . 6 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
79	74, 32, 78	mulcomli 9599	. . . . 5 |- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
80		1p1e2 10645	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
81		8p5e13 11030	. . . . 5 |- ( 8 + 5 ) = ; 1 3
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 11017	. . . 4 |- ( ( 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 2 3
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 11011	. . 3 |- ( (; 1 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 8 3
84		5lt10 10738	. . . 4 |- 5 < 10
85	60, 6, 71, 84	declti 10997	. . 3 |- 5 < ; 1 3
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 13923	. 2 |- -. ; 1 3 || ; 8 3
87	7, 42	decnncl 10985	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
88	7, 70	decnncl 10985	. . 3 |- ; 1 5 e. NN
89		eqid 2467	. . . 4 |- ; 1 7 = ; 1 7
90		eqid 2467	. . . 4 |- ; 1 5 = ; 1 5
91	4	nn0cni 10803	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
92	91	mulid2i 9595	. . . . . 6 |- ( 1 x. 4 ) = 4
93		3p1e4 10657	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 9767	. . . . . 6 |- ( 1 + 3 ) = 4
95	92, 94	oveq12i 6294	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = ( 4 + 4 )
96		4p4e8 10668	. . . . 5 |- ( 4 + 4 ) = 8
97	95, 96	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = 8
98		7t4e28 11056	. . . . 5 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
99		2p1e3 10655	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 11017	. . . 4 |- ( ( 7 x. 4 ) + 5 ) = ; 3 3
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 11011	. . 3 |- ( (; 1 7 x. 4 ) + ; 1 5 ) = ; 8 3
102		5lt7 10714	. . . 4 |- 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 10993	. . 3 |- ; 1 5 < ; 1 7
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 13923	. 2 |- -. ; 1 7 || ; 8 3
105		9nn 10696	. . . 4 |- 9 e. NN
106	7, 105	decnncl 10985	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
107		9nn0 10815	. . . 4 |- 9 e. NN0
108		eqid 2467	. . . 4 |- ; 1 9 = ; 1 9
109	20	dec0h 10988	. . . 4 |- 7 = ; 0 7
110	91	addid2i 9763	. . . . . 6 |- ( 0 + 4 ) = 4
111	92, 110	oveq12i 6294	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = ( 4 + 4 )
112	111, 96	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = 8
113		9t4e36 11069	. . . . 5 |- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
114	31, 74, 55	addcomli 9767	. . . . 5 |- ( 6 + 7 ) = ; 1 3
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 11017	. . . 4 |- ( ( 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 4 3
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 11011	. . 3 |- ( (; 1 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 8 3
117		7lt10 10736	. . . 4 |- 7 < 10
118	60, 107, 20, 117	declti 10997	. . 3 |- 7 < ; 1 9
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 13923	. 2 |- -. ; 1 9 || ; 8 3
120	19, 2	decnncl 10985	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
121		4nn 10691	. . . 4 |- 4 e. NN
122	7, 121	decnncl 10985	. . 3 |- ; 1 4 e. NN
123		eqid 2467	. . . 4 |- ; 2 3 = ; 2 3
124		eqid 2467	. . . 4 |- ; 1 4 = ; 1 4
125	32, 15, 26	mulcomli 9599	. . . . . 6 |- ( 2 x. 3 ) = 6
126	125, 80	oveq12i 6294	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 6 + 2 )
127	126, 29	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = 8
128		3t3e9 10684	. . . . . 6 |- ( 3 x. 3 ) = 9
129	128	oveq1i 6292	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ( 9 + 4 )
130		9p4e13 11036	. . . . 5 |- ( 9 + 4 ) = ; 1 3
131	129, 130	eqtri 2496	. . . 4 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 3
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 11011	. . 3 |- ( (; 2 3 x. 3 ) + ; 1 4 ) = ; 8 3
133		4lt10 10739	. . . 4 |- 4 < 10
134		1lt2 10698	. . . 4 |- 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 10994	. . 3 |- ; 1 4 < ; 2 3
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 13923	. 2 |- -. ; 2 3 || ; 8 3
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 14459	1 |- ; 8 3 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1767  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   7c7 10586   8c8 10587   9c9 10588  ;cdc 10972   Primecprime 14072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-prm 14073

This theorem is referenced by:  bpos1  23286