Theorem 83prm 14482

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	|- ; 8 3 e. Prime

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 10821	. . 3 |- 8 e. NN0
2		3nn 10697	. . 3 |- 3 e. NN
3	1, 2	decnncl 10994	. 2 |- ; 8 3 e. NN
4		4nn0 10817	. . . 4 |- 4 e. NN0
5	1, 4	deccl 10995	. . 3 |- ; 8 4 e. NN0
6		3nn0 10816	. . 3 |- 3 e. NN0
7		1nn0 10814	. . 3 |- 1 e. NN0
8		3lt10 10747	. . 3 |- 3 < 10
9		8nn 10702	. . . 4 |- 8 e. NN
10		8lt10 10742	. . . 4 |- 8 < 10
11	9, 4, 1, 10	declti 11006	. . 3 |- 8 < ; 8 4
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11003	. 2 |- ; 8 3 < ;; 8 4 1
13		1lt10 10749	. . 3 |- 1 < 10
14	9, 6, 7, 13	declti 11006	. 2 |- 1 < ; 8 3
15		2cn 10609	. . . 4 |- 2 e. CC
16	15	mulid2i 9599	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) = 2
17		df-3 10598	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 14423	. 2 |- -. 2 || ; 8 3
19		2nn0 10815	. . . 4 |- 2 e. NN0
20		7nn0 10820	. . . 4 |- 7 e. NN0
21	19, 20	deccl 10995	. . 3 |- ; 2 7 e. NN0
22		2nn 10696	. . 3 |- 2 e. NN
23		0nn0 10813	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		eqid 2441	. . . 4 |- ; 2 7 = ; 2 7
25	19	dec0h 10997	. . . 4 |- 2 = ; 0 2
26		3t2e6 10690	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
27	15	addid2i 9768	. . . . . 6 |- ( 0 + 2 ) = 2
28	26, 27	oveq12i 6290	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
29		6p2e8 10680	. . . . 5 |- ( 6 + 2 ) = 8
30	28, 29	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
31	20	nn0cni 10810	. . . . . 6 |- 7 e. CC
32		3cn 10613	. . . . . 6 |- 3 e. CC
33		7t3e21 11064	. . . . . 6 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
34	31, 32, 33	mulcomli 9603	. . . . 5 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
35		1p2e3 10663	. . . . 5 |- ( 1 + 2 ) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 11025	. . . 4 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 11021	. . 3 |- ( ( 3 x. ; 2 7 ) + 2 ) = ; 8 3
38		2lt3 10706	. . 3 |- 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 13942	. 2 |- -. 3 || ; 8 3
40		3lt5 10712	. . 3 |- 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 14424	. 2 |- -. 5 || ; 8 3
42		7nn 10701	. . 3 |- 7 e. NN
43	7, 7	deccl 10995	. . 3 |- ; 1 1 e. NN0
44		6nn 10700	. . 3 |- 6 e. NN
45	44	nnnn0i 10806	. . . 4 |- 6 e. NN0
46		eqid 2441	. . . 4 |- ; 1 1 = ; 1 1
47	45	dec0h 10997	. . . 4 |- 6 = ; 0 6
48	31	mulid1i 9598	. . . . . 6 |- ( 7 x. 1 ) = 7
49		ax-1cn 9550	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50	49	addid2i 9768	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
51	48, 50	oveq12i 6290	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 7 + 1 )
52		7p1e8 10668	. . . . 5 |- ( 7 + 1 ) = 8
53	51, 52	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 8
54	48	oveq1i 6288	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ( 7 + 6 )
55		7p6e13 11035	. . . . 5 |- ( 7 + 6 ) = ; 1 3
56	54, 55	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 3
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 11021	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 ) = ; 8 3
58		6lt7 10720	. . 3 |- 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 13942	. 2 |- -. 7 || ; 8 3
60		1nn 10550	. . . 4 |- 1 e. NN
61	7, 60	decnncl 10994	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
62	61	nncni 10549	. . . . . 6 |- ; 1 1 e. CC
63	62, 31	mulcomi 9602	. . . . 5 |- (; 1 1 x. 7 ) = ( 7 x. ; 1 1 )
64	63	oveq1i 6288	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 )
65	64, 57	eqtri 2470	. . 3 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ; 8 3
66		6lt10 10744	. . . 4 |- 6 < 10
67	60, 7, 45, 66	declti 11006	. . 3 |- 6 < ; 1 1
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 13942	. 2 |- -. ; 1 1 || ; 8 3
69	7, 2	decnncl 10994	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
70		5nn 10699	. . 3 |- 5 e. NN
71	70	nnnn0i 10806	. . . 4 |- 5 e. NN0
72		eqid 2441	. . . 4 |- ; 1 3 = ; 1 3
73	71	dec0h 10997	. . . 4 |- 5 = ; 0 5
74		6cn 10620	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
75	74	mulid2i 9599	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
76	75, 27	oveq12i 6290	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
77	76, 29	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
78		6t3e18 11059	. . . . . 6 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
79	74, 32, 78	mulcomli 9603	. . . . 5 |- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
80		1p1e2 10652	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
81		8p5e13 11039	. . . . 5 |- ( 8 + 5 ) = ; 1 3
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 11026	. . . 4 |- ( ( 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 2 3
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 11020	. . 3 |- ( (; 1 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 8 3
84		5lt10 10745	. . . 4 |- 5 < 10
85	60, 6, 71, 84	declti 11006	. . 3 |- 5 < ; 1 3
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 13942	. 2 |- -. ; 1 3 || ; 8 3
87	7, 42	decnncl 10994	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
88	7, 70	decnncl 10994	. . 3 |- ; 1 5 e. NN
89		eqid 2441	. . . 4 |- ; 1 7 = ; 1 7
90		eqid 2441	. . . 4 |- ; 1 5 = ; 1 5
91	4	nn0cni 10810	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
92	91	mulid2i 9599	. . . . . 6 |- ( 1 x. 4 ) = 4
93		3p1e4 10664	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 9772	. . . . . 6 |- ( 1 + 3 ) = 4
95	92, 94	oveq12i 6290	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = ( 4 + 4 )
96		4p4e8 10675	. . . . 5 |- ( 4 + 4 ) = 8
97	95, 96	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = 8
98		7t4e28 11065	. . . . 5 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
99		2p1e3 10662	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 11026	. . . 4 |- ( ( 7 x. 4 ) + 5 ) = ; 3 3
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 11020	. . 3 |- ( (; 1 7 x. 4 ) + ; 1 5 ) = ; 8 3
102		5lt7 10721	. . . 4 |- 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 11002	. . 3 |- ; 1 5 < ; 1 7
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 13942	. 2 |- -. ; 1 7 || ; 8 3
105		9nn 10703	. . . 4 |- 9 e. NN
106	7, 105	decnncl 10994	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
107		9nn0 10822	. . . 4 |- 9 e. NN0
108		eqid 2441	. . . 4 |- ; 1 9 = ; 1 9
109	20	dec0h 10997	. . . 4 |- 7 = ; 0 7
110	91	addid2i 9768	. . . . . 6 |- ( 0 + 4 ) = 4
111	92, 110	oveq12i 6290	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = ( 4 + 4 )
112	111, 96	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = 8
113		9t4e36 11078	. . . . 5 |- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
114	31, 74, 55	addcomli 9772	. . . . 5 |- ( 6 + 7 ) = ; 1 3
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 11026	. . . 4 |- ( ( 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 4 3
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 11020	. . 3 |- ( (; 1 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 8 3
117		7lt10 10743	. . . 4 |- 7 < 10
118	60, 107, 20, 117	declti 11006	. . 3 |- 7 < ; 1 9
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 13942	. 2 |- -. ; 1 9 || ; 8 3
120	19, 2	decnncl 10994	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
121		4nn 10698	. . . 4 |- 4 e. NN
122	7, 121	decnncl 10994	. . 3 |- ; 1 4 e. NN
123		eqid 2441	. . . 4 |- ; 2 3 = ; 2 3
124		eqid 2441	. . . 4 |- ; 1 4 = ; 1 4
125	32, 15, 26	mulcomli 9603	. . . . . 6 |- ( 2 x. 3 ) = 6
126	125, 80	oveq12i 6290	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 6 + 2 )
127	126, 29	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = 8
128		3t3e9 10691	. . . . . 6 |- ( 3 x. 3 ) = 9
129	128	oveq1i 6288	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ( 9 + 4 )
130		9p4e13 11045	. . . . 5 |- ( 9 + 4 ) = ; 1 3
131	129, 130	eqtri 2470	. . . 4 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 3
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 11020	. . 3 |- ( (; 2 3 x. 3 ) + ; 1 4 ) = ; 8 3
133		4lt10 10746	. . . 4 |- 4 < 10
134		1lt2 10705	. . . 4 |- 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 11003	. . 3 |- ; 1 4 < ; 2 3
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 13942	. 2 |- -. ; 2 3 || ; 8 3
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 14479	1 |- ; 8 3 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1802  (class class class)co 6278   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   2c2 10588   3c3 10589   4c4 10590   5c5 10591   6c6 10592   7c7 10593   8c8 10594   9c9 10595  ;cdc 10981   Primecprime 14091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-rp 11227  df-fz 11679  df-seq 12084  df-exp 12143  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-dvds 13861  df-prm 14092

This theorem is referenced by:  bpos1  23427