MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Unicode version

Theorem 83prm 14132
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10589 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 10467 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10755 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10585 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 10756 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10584 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10582 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10517 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10472 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 10512 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 10767 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10764 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 10519 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 10767 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 10379 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 9376 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 10368 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 14074 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 10583 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10588 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 10756 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 10466 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 10581 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2433 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 10758 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 10460 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9544 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 10450 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 10578 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 10383 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 10825 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 9380 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 1p2e3 10433 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 10786 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 10782 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
38 2lt3 10476 . . 3  |-  2  <  3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 13596 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
40 3lt5 10482 . . 3  |-  3  <  5
411, 2, 40dec5dvds 14075 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
42 7nn 10471 . . 3  |-  7  e.  NN
437, 7deccl 10756 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
44 6nn 10470 . . 3  |-  6  e.  NN
4544nnnn0i 10574 . . . 4  |-  6  e.  NN0
46 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4745dec0h 10758 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
4831mulid1i 9375 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
49 ax-1cn 9327 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5049addid2i 9544 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5148, 50oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
52 7p1e8 10438 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5351, 52eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5448oveq1i 6090 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
55 7p6e13 10796 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5654, 55eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 10782 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
58 6lt7 10490 . . 3  |-  6  <  7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 13596 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
60 1nn 10320 . . . 4  |-  1  e.  NN
617, 60decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6261nncni 10319 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6362, 31mulcomi 9379 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6463oveq1i 6090 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6564, 57eqtri 2453 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
66 6lt10 10514 . . . 4  |-  6  <  10
6760, 7, 45, 66declti 10767 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
697, 2decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
70 5nn 10469 . . 3  |-  5  e.  NN
7170nnnn0i 10574 . . . 4  |-  5  e.  NN0
72 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7371dec0h 10758 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
74 6cn 10390 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7574mulid2i 9376 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7675, 27oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7776, 29eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
78 6t3e18 10820 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
7974, 32, 78mulcomli 9380 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
80 1p1e2 10422 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
81 8p5e13 10800 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 10787 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
84 5lt10 10515 . . . 4  |-  5  <  10
8560, 6, 71, 84declti 10767 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
877, 42decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
887, 70decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
89 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
90 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
914nn0cni 10578 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9291mulid2i 9376 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
93 3p1e4 10434 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9432, 49, 93addcomli 9548 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9592, 94oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
96 4p4e8 10445 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9795, 96eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
98 7t4e28 10826 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
99 2p1e3 10432 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 10787 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 10491 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 71, 42, 102declt 10763 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 10473 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10590 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 10758 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11091addid2i 9544 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11192, 110oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 96eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 10839 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 74, 55addcomli 9548 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 10787 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 10513 . . . 4  |-  7  <  10
11860, 107, 20, 117declti 10767 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 10755 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 10468 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2433 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 9380 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 80oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 10461 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 6090 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 10806 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 10516 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 10475 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 10764 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 14129 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   2c2 10358   3c3 10359   4c4 10360   5c5 10361   6c6 10362   7c7 10363   8c8 10364   9c9 10365  ;cdc 10742   Primecprime 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-prm 13746
This theorem is referenced by:  bpos1  22506
  Copyright terms: Public domain W3C validator