MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Unicode version

Theorem 83prm 14462
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10814 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 10690 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10985 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10810 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 10986 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10809 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10807 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10740 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10695 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 10735 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 10997 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10994 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 10742 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 10997 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 10602 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 9595 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 10591 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 14404 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 10808 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10813 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 10986 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 10689 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 10806 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2467 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 10988 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 10683 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9763 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 10673 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 10803 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 10606 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 11055 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 9599 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 1p2e3 10656 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11016 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11012 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
38 2lt3 10699 . . 3  |-  2  <  3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 13923 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
40 3lt5 10705 . . 3  |-  3  <  5
411, 2, 40dec5dvds 14405 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
42 7nn 10694 . . 3  |-  7  e.  NN
437, 7deccl 10986 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
44 6nn 10693 . . 3  |-  6  e.  NN
4544nnnn0i 10799 . . . 4  |-  6  e.  NN0
46 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4745dec0h 10988 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
4831mulid1i 9594 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
49 ax-1cn 9546 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5049addid2i 9763 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5148, 50oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
52 7p1e8 10661 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5351, 52eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5448oveq1i 6292 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
55 7p6e13 11026 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5654, 55eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11012 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
58 6lt7 10713 . . 3  |-  6  <  7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 13923 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
60 1nn 10543 . . . 4  |-  1  e.  NN
617, 60decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6261nncni 10542 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6362, 31mulcomi 9598 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6463oveq1i 6292 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6564, 57eqtri 2496 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
66 6lt10 10737 . . . 4  |-  6  <  10
6760, 7, 45, 66declti 10997 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 13923 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
697, 2decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
70 5nn 10692 . . 3  |-  5  e.  NN
7170nnnn0i 10799 . . . 4  |-  5  e.  NN0
72 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7371dec0h 10988 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
74 6cn 10613 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7574mulid2i 9595 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7675, 27oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7776, 29eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
78 6t3e18 11050 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
7974, 32, 78mulcomli 9599 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
80 1p1e2 10645 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
81 8p5e13 11030 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11017 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11011 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
84 5lt10 10738 . . . 4  |-  5  <  10
8560, 6, 71, 84declti 10997 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 13923 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
877, 42decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
887, 70decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
89 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
90 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
914nn0cni 10803 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9291mulid2i 9595 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
93 3p1e4 10657 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9432, 49, 93addcomli 9767 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9592, 94oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
96 4p4e8 10668 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9795, 96eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
98 7t4e28 11056 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
99 2p1e3 10655 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11017 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11011 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 10714 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 71, 42, 102declt 10993 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 13923 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 10696 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10815 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 10988 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11091addid2i 9763 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11192, 110oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 96eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 11069 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 74, 55addcomli 9767 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11017 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11011 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 10736 . . . 4  |-  7  <  10
11860, 107, 20, 117declti 10997 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 13923 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 10985 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 10691 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 10985 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2467 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 9599 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 80oveq12i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 10684 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 6292 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 11036 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11011 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 10739 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 10698 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 10994 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 13923 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 14459 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   6c6 10585   7c7 10586   8c8 10587   9c9 10588  ;cdc 10972   Primecprime 14072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-prm 14073
This theorem is referenced by:  bpos1  23286
  Copyright terms: Public domain W3C validator