Theorem 83prm 15142

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	|- ; 8 3 e. Prime

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 10920	. . 3 |- 8 e. NN0
2		3nn 10796	. . 3 |- 3 e. NN
3	1, 2	decnncl 11092	. 2 |- ; 8 3 e. NN
4		4nn0 10916	. . . 4 |- 4 e. NN0
5	1, 4	deccl 11093	. . 3 |- ; 8 4 e. NN0
6		3nn0 10915	. . 3 |- 3 e. NN0
7		1nn0 10913	. . 3 |- 1 e. NN0
8		3lt10 10846	. . 3 |- 3 < 10
9		8nn 10801	. . . 4 |- 8 e. NN
10		8lt10 10841	. . . 4 |- 8 < 10
11	9, 4, 1, 10	declti 11104	. . 3 |- 8 < ; 8 4
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11101	. 2 |- ; 8 3 < ;; 8 4 1
13		1lt10 10848	. . 3 |- 1 < 10
14	9, 6, 7, 13	declti 11104	. 2 |- 1 < ; 8 3
15		2cn 10707	. . . 4 |- 2 e. CC
16	15	mulid2i 9671	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) = 2
17		df-3 10696	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 15083	. 2 |- -. 2 || ; 8 3
19		2nn0 10914	. . . 4 |- 2 e. NN0
20		7nn0 10919	. . . 4 |- 7 e. NN0
21	19, 20	deccl 11093	. . 3 |- ; 2 7 e. NN0
22		2nn 10795	. . 3 |- 2 e. NN
23		0nn0 10912	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		eqid 2461	. . . 4 |- ; 2 7 = ; 2 7
25	19	dec0h 11095	. . . 4 |- 2 = ; 0 2
26		3t2e6 10789	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
27	15	addid2i 9846	. . . . . 6 |- ( 0 + 2 ) = 2
28	26, 27	oveq12i 6326	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
29		6p2e8 10779	. . . . 5 |- ( 6 + 2 ) = 8
30	28, 29	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
31	20	nn0cni 10909	. . . . . 6 |- 7 e. CC
32		3cn 10711	. . . . . 6 |- 3 e. CC
33		7t3e21 11162	. . . . . 6 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
34	31, 32, 33	mulcomli 9675	. . . . 5 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
35		1p2e3 10762	. . . . 5 |- ( 1 + 2 ) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 11123	. . . 4 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 11119	. . 3 |- ( ( 3 x. ; 2 7 ) + 2 ) = ; 8 3
38		2lt3 10805	. . 3 |- 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 14439	. 2 |- -. 3 || ; 8 3
40		3lt5 10811	. . 3 |- 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 15084	. 2 |- -. 5 || ; 8 3
42		7nn 10800	. . 3 |- 7 e. NN
43	7, 7	deccl 11093	. . 3 |- ; 1 1 e. NN0
44		6nn 10799	. . 3 |- 6 e. NN
45	44	nnnn0i 10905	. . . 4 |- 6 e. NN0
46		eqid 2461	. . . 4 |- ; 1 1 = ; 1 1
47	45	dec0h 11095	. . . 4 |- 6 = ; 0 6
48	31	mulid1i 9670	. . . . . 6 |- ( 7 x. 1 ) = 7
49		ax-1cn 9622	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50	49	addid2i 9846	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
51	48, 50	oveq12i 6326	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 7 + 1 )
52		7p1e8 10767	. . . . 5 |- ( 7 + 1 ) = 8
53	51, 52	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 8
54	48	oveq1i 6324	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ( 7 + 6 )
55		7p6e13 11133	. . . . 5 |- ( 7 + 6 ) = ; 1 3
56	54, 55	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 3
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 11119	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 ) = ; 8 3
58		6lt7 10819	. . 3 |- 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 14439	. 2 |- -. 7 || ; 8 3
60		1nn 10647	. . . 4 |- 1 e. NN
61	7, 60	decnncl 11092	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
62	61	nncni 10646	. . . . . 6 |- ; 1 1 e. CC
63	62, 31	mulcomi 9674	. . . . 5 |- (; 1 1 x. 7 ) = ( 7 x. ; 1 1 )
64	63	oveq1i 6324	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 )
65	64, 57	eqtri 2483	. . 3 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ; 8 3
66		6lt10 10843	. . . 4 |- 6 < 10
67	60, 7, 45, 66	declti 11104	. . 3 |- 6 < ; 1 1
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 14439	. 2 |- -. ; 1 1 || ; 8 3
69	7, 2	decnncl 11092	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
70		5nn 10798	. . 3 |- 5 e. NN
71	70	nnnn0i 10905	. . . 4 |- 5 e. NN0
72		eqid 2461	. . . 4 |- ; 1 3 = ; 1 3
73	71	dec0h 11095	. . . 4 |- 5 = ; 0 5
74		6cn 10718	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
75	74	mulid2i 9671	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
76	75, 27	oveq12i 6326	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
77	76, 29	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
78		6t3e18 11157	. . . . . 6 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
79	74, 32, 78	mulcomli 9675	. . . . 5 |- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
80		1p1e2 10750	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
81		8p5e13 11137	. . . . 5 |- ( 8 + 5 ) = ; 1 3
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 11124	. . . 4 |- ( ( 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 2 3
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 11118	. . 3 |- ( (; 1 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 8 3
84		5lt10 10844	. . . 4 |- 5 < 10
85	60, 6, 71, 84	declti 11104	. . 3 |- 5 < ; 1 3
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 14439	. 2 |- -. ; 1 3 || ; 8 3
87	7, 42	decnncl 11092	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
88	7, 70	decnncl 11092	. . 3 |- ; 1 5 e. NN
89		eqid 2461	. . . 4 |- ; 1 7 = ; 1 7
90		eqid 2461	. . . 4 |- ; 1 5 = ; 1 5
91	4	nn0cni 10909	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
92	91	mulid2i 9671	. . . . . 6 |- ( 1 x. 4 ) = 4
93		3p1e4 10763	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 9850	. . . . . 6 |- ( 1 + 3 ) = 4
95	92, 94	oveq12i 6326	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = ( 4 + 4 )
96		4p4e8 10774	. . . . 5 |- ( 4 + 4 ) = 8
97	95, 96	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = 8
98		7t4e28 11163	. . . . 5 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
99		2p1e3 10761	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 11124	. . . 4 |- ( ( 7 x. 4 ) + 5 ) = ; 3 3
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 11118	. . 3 |- ( (; 1 7 x. 4 ) + ; 1 5 ) = ; 8 3
102		5lt7 10820	. . . 4 |- 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 11100	. . 3 |- ; 1 5 < ; 1 7
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 14439	. 2 |- -. ; 1 7 || ; 8 3
105		9nn 10802	. . . 4 |- 9 e. NN
106	7, 105	decnncl 11092	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
107		9nn0 10921	. . . 4 |- 9 e. NN0
108		eqid 2461	. . . 4 |- ; 1 9 = ; 1 9
109	20	dec0h 11095	. . . 4 |- 7 = ; 0 7
110	91	addid2i 9846	. . . . . 6 |- ( 0 + 4 ) = 4
111	92, 110	oveq12i 6326	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = ( 4 + 4 )
112	111, 96	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = 8
113		9t4e36 11176	. . . . 5 |- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
114	31, 74, 55	addcomli 9850	. . . . 5 |- ( 6 + 7 ) = ; 1 3
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 11124	. . . 4 |- ( ( 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 4 3
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 11118	. . 3 |- ( (; 1 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 8 3
117		7lt10 10842	. . . 4 |- 7 < 10
118	60, 107, 20, 117	declti 11104	. . 3 |- 7 < ; 1 9
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 14439	. 2 |- -. ; 1 9 || ; 8 3
120	19, 2	decnncl 11092	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
121		4nn 10797	. . . 4 |- 4 e. NN
122	7, 121	decnncl 11092	. . 3 |- ; 1 4 e. NN
123		eqid 2461	. . . 4 |- ; 2 3 = ; 2 3
124		eqid 2461	. . . 4 |- ; 1 4 = ; 1 4
125	32, 15, 26	mulcomli 9675	. . . . . 6 |- ( 2 x. 3 ) = 6
126	125, 80	oveq12i 6326	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 6 + 2 )
127	126, 29	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = 8
128		3t3e9 10790	. . . . . 6 |- ( 3 x. 3 ) = 9
129	128	oveq1i 6324	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ( 9 + 4 )
130		9p4e13 11143	. . . . 5 |- ( 9 + 4 ) = ; 1 3
131	129, 130	eqtri 2483	. . . 4 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 3
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 11118	. . 3 |- ( (; 2 3 x. 3 ) + ; 1 4 ) = ; 8 3
133		4lt10 10845	. . . 4 |- 4 < 10
134		1lt2 10804	. . . 4 |- 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 11101	. . 3 |- ; 1 4 < ; 2 3
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 14439	. 2 |- -. ; 2 3 || ; 8 3
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 15139	1 |- ; 8 3 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1897  (class class class)co 6314   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   x. cmul 9569   2c2 10686   3c3 10687   4c4 10688   5c5 10689   6c6 10690   7c7 10691   8c8 10692   9c9 10693  ;cdc 11079   Primecprime 14670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-dvds 14354  df-prm 14671

This theorem is referenced by:  bpos1  24259