MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Unicode version

Theorem 83prm 15082
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10893 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 10769 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 11065 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10889 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 11066 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10888 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10886 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10819 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10774 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 10814 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 11077 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11074 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 10821 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 11077 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 10681 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 9647 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 10670 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 15023 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 10887 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10892 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 11066 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 10768 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 10885 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2422 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 11068 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 10762 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 10752 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 10882 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 10685 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 11135 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 9651 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 1p2e3 10735 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11096 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11092 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
38 2lt3 10778 . . 3  |-  2  <  3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 14379 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
40 3lt5 10784 . . 3  |-  3  <  5
411, 2, 40dec5dvds 15024 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
42 7nn 10773 . . 3  |-  7  e.  NN
437, 7deccl 11066 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
44 6nn 10772 . . 3  |-  6  e.  NN
4544nnnn0i 10878 . . . 4  |-  6  e.  NN0
46 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4745dec0h 11068 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
4831mulid1i 9646 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
49 ax-1cn 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5049addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5148, 50oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
52 7p1e8 10740 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5351, 52eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5448oveq1i 6312 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
55 7p6e13 11106 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5654, 55eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11092 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
58 6lt7 10792 . . 3  |-  6  <  7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 14379 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
60 1nn 10621 . . . 4  |-  1  e.  NN
617, 60decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6261nncni 10620 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6362, 31mulcomi 9650 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6463oveq1i 6312 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6564, 57eqtri 2451 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
66 6lt10 10816 . . . 4  |-  6  <  10
6760, 7, 45, 66declti 11077 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
697, 2decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
70 5nn 10771 . . 3  |-  5  e.  NN
7170nnnn0i 10878 . . . 4  |-  5  e.  NN0
72 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7371dec0h 11068 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
74 6cn 10692 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7574mulid2i 9647 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7675, 27oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7776, 29eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
78 6t3e18 11130 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
7974, 32, 78mulcomli 9651 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
80 1p1e2 10724 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
81 8p5e13 11110 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11097 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
84 5lt10 10817 . . . 4  |-  5  <  10
8560, 6, 71, 84declti 11077 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
877, 42decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
887, 70decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
89 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
90 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
914nn0cni 10882 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9291mulid2i 9647 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
93 3p1e4 10736 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9432, 49, 93addcomli 9826 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9592, 94oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
96 4p4e8 10747 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9795, 96eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
98 7t4e28 11136 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
99 2p1e3 10734 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11097 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 10793 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 71, 42, 102declt 11073 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 10775 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10894 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 11068 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11091addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11192, 110oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 96eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 11149 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 74, 55addcomli 9826 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11097 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 10815 . . . 4  |-  7  <  10
11860, 107, 20, 117declti 11077 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 11065 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 10770 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2422 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 9651 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 80oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 10763 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 6312 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 11116 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 10818 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 10777 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 11074 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 15079 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   5c5 10663   6c6 10664   7c7 10665   8c8 10666   9c9 10667  ;cdc 11052   Primecprime 14610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294  df-prm 14611
This theorem is referenced by:  bpos1  24198
  Copyright terms: Public domain W3C validator