MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 83prm 15142
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm  |- ; 8 3  e.  Prime

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 10920 . . 3  |-  8  e.  NN0
2 3nn 10796 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 11092 . 2  |- ; 8 3  e.  NN
4 4nn0 10916 . . . 4  |-  4  e.  NN0
51, 4deccl 11093 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10915 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10913 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10846 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10801 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 8lt10 10841 . . . 4  |-  8  <  10
119, 4, 1, 10declti 11104 . . 3  |-  8  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11101 . 2  |- ; 8 3  < ;; 8 4 1
13 1lt10 10848 . . 3  |-  1  <  10
149, 6, 7, 13declti 11104 . 2  |-  1  < ; 8
3
15 2cn 10707 . . . 4  |-  2  e.  CC
1615mulid2i 9671 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
17 df-3 10696 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181, 7, 16, 17dec2dvds 15083 . 2  |-  -.  2  || ; 8 3
19 2nn0 10914 . . . 4  |-  2  e.  NN0
20 7nn0 10919 . . . 4  |-  7  e.  NN0
2119, 20deccl 11093 . . 3  |- ; 2 7  e.  NN0
22 2nn 10795 . . 3  |-  2  e.  NN
23 0nn0 10912 . . . 4  |-  0  e.  NN0
24 eqid 2461 . . . 4  |- ; 2 7  = ; 2 7
2519dec0h 11095 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
26 3t2e6 10789 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2715addid2i 9846 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2826, 27oveq12i 6326 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
29 6p2e8 10779 . . . . 5  |-  ( 6  +  2 )  =  8
3028, 29eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
3120nn0cni 10909 . . . . . 6  |-  7  e.  CC
32 3cn 10711 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
33 7t3e21 11162 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
3431, 32, 33mulcomli 9675 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
35 1p2e3 10762 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11123 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11119 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 2 7 )  +  2 )  = ; 8 3
38 2lt3 10805 . . 3  |-  2  <  3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 14439 . 2  |-  -.  3  || ; 8 3
40 3lt5 10811 . . 3  |-  3  <  5
411, 2, 40dec5dvds 15084 . 2  |-  -.  5  || ; 8 3
42 7nn 10800 . . 3  |-  7  e.  NN
437, 7deccl 11093 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN0
44 6nn 10799 . . 3  |-  6  e.  NN
4544nnnn0i 10905 . . . 4  |-  6  e.  NN0
46 eqid 2461 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
4745dec0h 11095 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
4831mulid1i 9670 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
49 ax-1cn 9622 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5049addid2i 9846 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5148, 50oveq12i 6326 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 7  +  1 )
52 7p1e8 10767 . . . . 5  |-  ( 7  +  1 )  =  8
5351, 52eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  8
5448oveq1i 6324 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  =  ( 7  +  6 )
55 7p6e13 11133 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
5654, 55eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  6 )  = ; 1
3
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11119 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 1 )  +  6 )  = ; 8 3
58 6lt7 10819 . . 3  |-  6  <  7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 14439 . 2  |-  -.  7  || ; 8 3
60 1nn 10647 . . . 4  |-  1  e.  NN
617, 60decnncl 11092 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
6261nncni 10646 . . . . . 6  |- ; 1 1  e.  CC
6362, 31mulcomi 9674 . . . . 5  |-  (; 1 1  x.  7 )  =  ( 7  x. ; 1 1 )
6463oveq1i 6324 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  =  ( ( 7  x. ; 1
1 )  +  6 )
6564, 57eqtri 2483 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  7 )  +  6 )  = ; 8
3
66 6lt10 10843 . . . 4  |-  6  <  10
6760, 7, 45, 66declti 11104 . . 3  |-  6  < ; 1
1
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 14439 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 8 3
697, 2decnncl 11092 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
70 5nn 10798 . . 3  |-  5  e.  NN
7170nnnn0i 10905 . . . 4  |-  5  e.  NN0
72 eqid 2461 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
7371dec0h 11095 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
74 6cn 10718 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
7574mulid2i 9671 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
7675, 27oveq12i 6326 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
7776, 29eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
78 6t3e18 11157 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
7974, 32, 78mulcomli 9675 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
80 1p1e2 10750 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
81 8p5e13 11137 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11124 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  5 )  = ; 2
3
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11118 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  6 )  +  5 )  = ; 8
3
84 5lt10 10844 . . . 4  |-  5  <  10
8560, 6, 71, 84declti 11104 . . 3  |-  5  < ; 1
3
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 14439 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 8 3
877, 42decnncl 11092 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
887, 70decnncl 11092 . . 3  |- ; 1 5  e.  NN
89 eqid 2461 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
90 eqid 2461 . . . 4  |- ; 1 5  = ; 1 5
914nn0cni 10909 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
9291mulid2i 9671 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
93 3p1e4 10763 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
9432, 49, 93addcomli 9850 . . . . . 6  |-  ( 1  +  3 )  =  4
9592, 94oveq12i 6326 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  ( 4  +  4 )
96 4p4e8 10774 . . . . 5  |-  ( 4  +  4 )  =  8
9795, 96eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 1  +  3 ) )  =  8
98 7t4e28 11163 . . . . 5  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
99 2p1e3 10761 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11124 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  4 )  +  5 )  = ; 3
3
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11118 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  4 )  + ; 1 5 )  = ; 8
3
102 5lt7 10820 . . . 4  |-  5  <  7
1037, 71, 42, 102declt 11100 . . 3  |- ; 1 5  < ; 1 7
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 14439 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 8 3
105 9nn 10802 . . . 4  |-  9  e.  NN
1067, 105decnncl 11092 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
107 9nn0 10921 . . . 4  |-  9  e.  NN0
108 eqid 2461 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10920dec0h 11095 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
11091addid2i 9846 . . . . . 6  |-  ( 0  +  4 )  =  4
11192, 110oveq12i 6326 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  ( 4  +  4 )
112111, 96eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  4 ) )  =  8
113 9t4e36 11176 . . . . 5  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
11431, 74, 55addcomli 9850 . . . . 5  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11124 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  4 )  +  7 )  = ; 4
3
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11118 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  4 )  +  7 )  = ; 8
3
117 7lt10 10842 . . . 4  |-  7  <  10
11860, 107, 20, 117declti 11104 . . 3  |-  7  < ; 1
9
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 14439 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 8 3
12019, 2decnncl 11092 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
121 4nn 10797 . . . 4  |-  4  e.  NN
1227, 121decnncl 11092 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN
123 eqid 2461 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
124 eqid 2461 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
12532, 15, 26mulcomli 9675 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
126125, 80oveq12i 6326 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 6  +  2 )
127126, 29eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 1  +  1 ) )  =  8
128 3t3e9 10790 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
129128oveq1i 6324 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
130 9p4e13 11143 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
131129, 130eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11118 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  3 )  + ; 1 4 )  = ; 8
3
133 4lt10 10845 . . . 4  |-  4  <  10
134 1lt2 10804 . . . 4  |-  1  <  2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 11101 . . 3  |- ; 1 4  < ; 2 3
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 14439 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 8 3
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 15139 1  |- ; 8 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1897  (class class class)co 6314   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569   2c2 10686   3c3 10687   4c4 10688   5c5 10689   6c6 10690   7c7 10691   8c8 10692   9c9 10693  ;cdc 11079   Primecprime 14670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-dvds 14354  df-prm 14671
This theorem is referenced by:  bpos1  24259
  Copyright terms: Public domain W3C validator