Theorem 83prm 14263

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	|- ; 8 3 e. Prime

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 10708	. . 3 |- 8 e. NN0
2		3nn 10586	. . 3 |- 3 e. NN
3	1, 2	decnncl 10874	. 2 |- ; 8 3 e. NN
4		4nn0 10704	. . . 4 |- 4 e. NN0
5	1, 4	deccl 10875	. . 3 |- ; 8 4 e. NN0
6		3nn0 10703	. . 3 |- 3 e. NN0
7		1nn0 10701	. . 3 |- 1 e. NN0
8		3lt10 10636	. . 3 |- 3 < 10
9		8nn 10591	. . . 4 |- 8 e. NN
10		8lt10 10631	. . . 4 |- 8 < 10
11	9, 4, 1, 10	declti 10886	. . 3 |- 8 < ; 8 4
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 10883	. 2 |- ; 8 3 < ;; 8 4 1
13		1lt10 10638	. . 3 |- 1 < 10
14	9, 6, 7, 13	declti 10886	. 2 |- 1 < ; 8 3
15		2cn 10498	. . . 4 |- 2 e. CC
16	15	mulid2i 9495	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) = 2
17		df-3 10487	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 14205	. 2 |- -. 2 || ; 8 3
19		2nn0 10702	. . . 4 |- 2 e. NN0
20		7nn0 10707	. . . 4 |- 7 e. NN0
21	19, 20	deccl 10875	. . 3 |- ; 2 7 e. NN0
22		2nn 10585	. . 3 |- 2 e. NN
23		0nn0 10700	. . . 4 |- 0 e. NN0
24		eqid 2452	. . . 4 |- ; 2 7 = ; 2 7
25	19	dec0h 10877	. . . 4 |- 2 = ; 0 2
26		3t2e6 10579	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
27	15	addid2i 9663	. . . . . 6 |- ( 0 + 2 ) = 2
28	26, 27	oveq12i 6207	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
29		6p2e8 10569	. . . . 5 |- ( 6 + 2 ) = 8
30	28, 29	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 3 x. 2 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
31	20	nn0cni 10697	. . . . . 6 |- 7 e. CC
32		3cn 10502	. . . . . 6 |- 3 e. CC
33		7t3e21 10944	. . . . . 6 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
34	31, 32, 33	mulcomli 9499	. . . . 5 |- ( 3 x. 7 ) = ; 2 1
35		1p2e3 10552	. . . . 5 |- ( 1 + 2 ) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 10905	. . . 4 |- ( ( 3 x. 7 ) + 2 ) = ; 2 3
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 10901	. . 3 |- ( ( 3 x. ; 2 7 ) + 2 ) = ; 8 3
38		2lt3 10595	. . 3 |- 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 13727	. 2 |- -. 3 || ; 8 3
40		3lt5 10601	. . 3 |- 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 14206	. 2 |- -. 5 || ; 8 3
42		7nn 10590	. . 3 |- 7 e. NN
43	7, 7	deccl 10875	. . 3 |- ; 1 1 e. NN0
44		6nn 10589	. . 3 |- 6 e. NN
45	44	nnnn0i 10693	. . . 4 |- 6 e. NN0
46		eqid 2452	. . . 4 |- ; 1 1 = ; 1 1
47	45	dec0h 10877	. . . 4 |- 6 = ; 0 6
48	31	mulid1i 9494	. . . . . 6 |- ( 7 x. 1 ) = 7
49		ax-1cn 9446	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
50	49	addid2i 9663	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
51	48, 50	oveq12i 6207	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 7 + 1 )
52		7p1e8 10557	. . . . 5 |- ( 7 + 1 ) = 8
53	51, 52	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 8
54	48	oveq1i 6205	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ( 7 + 6 )
55		7p6e13 10915	. . . . 5 |- ( 7 + 6 ) = ; 1 3
56	54, 55	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 3
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 10901	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 ) = ; 8 3
58		6lt7 10609	. . 3 |- 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 13727	. 2 |- -. 7 || ; 8 3
60		1nn 10439	. . . 4 |- 1 e. NN
61	7, 60	decnncl 10874	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
62	61	nncni 10438	. . . . . 6 |- ; 1 1 e. CC
63	62, 31	mulcomi 9498	. . . . 5 |- (; 1 1 x. 7 ) = ( 7 x. ; 1 1 )
64	63	oveq1i 6205	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ( ( 7 x. ; 1 1 ) + 6 )
65	64, 57	eqtri 2481	. . 3 |- ( (; 1 1 x. 7 ) + 6 ) = ; 8 3
66		6lt10 10633	. . . 4 |- 6 < 10
67	60, 7, 45, 66	declti 10886	. . 3 |- 6 < ; 1 1
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 13727	. 2 |- -. ; 1 1 || ; 8 3
69	7, 2	decnncl 10874	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
70		5nn 10588	. . 3 |- 5 e. NN
71	70	nnnn0i 10693	. . . 4 |- 5 e. NN0
72		eqid 2452	. . . 4 |- ; 1 3 = ; 1 3
73	71	dec0h 10877	. . . 4 |- 5 = ; 0 5
74		6cn 10509	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
75	74	mulid2i 9495	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
76	75, 27	oveq12i 6207	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = ( 6 + 2 )
77	76, 29	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 0 + 2 ) ) = 8
78		6t3e18 10939	. . . . . 6 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
79	74, 32, 78	mulcomli 9499	. . . . 5 |- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
80		1p1e2 10541	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
81		8p5e13 10919	. . . . 5 |- ( 8 + 5 ) = ; 1 3
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 10906	. . . 4 |- ( ( 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 2 3
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 10900	. . 3 |- ( (; 1 3 x. 6 ) + 5 ) = ; 8 3
84		5lt10 10634	. . . 4 |- 5 < 10
85	60, 6, 71, 84	declti 10886	. . 3 |- 5 < ; 1 3
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 13727	. 2 |- -. ; 1 3 || ; 8 3
87	7, 42	decnncl 10874	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
88	7, 70	decnncl 10874	. . 3 |- ; 1 5 e. NN
89		eqid 2452	. . . 4 |- ; 1 7 = ; 1 7
90		eqid 2452	. . . 4 |- ; 1 5 = ; 1 5
91	4	nn0cni 10697	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
92	91	mulid2i 9495	. . . . . 6 |- ( 1 x. 4 ) = 4
93		3p1e4 10553	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 9667	. . . . . 6 |- ( 1 + 3 ) = 4
95	92, 94	oveq12i 6207	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = ( 4 + 4 )
96		4p4e8 10564	. . . . 5 |- ( 4 + 4 ) = 8
97	95, 96	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 1 + 3 ) ) = 8
98		7t4e28 10945	. . . . 5 |- ( 7 x. 4 ) = ; 2 8
99		2p1e3 10551	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 10906	. . . 4 |- ( ( 7 x. 4 ) + 5 ) = ; 3 3
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 10900	. . 3 |- ( (; 1 7 x. 4 ) + ; 1 5 ) = ; 8 3
102		5lt7 10610	. . . 4 |- 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 10882	. . 3 |- ; 1 5 < ; 1 7
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 13727	. 2 |- -. ; 1 7 || ; 8 3
105		9nn 10592	. . . 4 |- 9 e. NN
106	7, 105	decnncl 10874	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
107		9nn0 10709	. . . 4 |- 9 e. NN0
108		eqid 2452	. . . 4 |- ; 1 9 = ; 1 9
109	20	dec0h 10877	. . . 4 |- 7 = ; 0 7
110	91	addid2i 9663	. . . . . 6 |- ( 0 + 4 ) = 4
111	92, 110	oveq12i 6207	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = ( 4 + 4 )
112	111, 96	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 1 x. 4 ) + ( 0 + 4 ) ) = 8
113		9t4e36 10958	. . . . 5 |- ( 9 x. 4 ) = ; 3 6
114	31, 74, 55	addcomli 9667	. . . . 5 |- ( 6 + 7 ) = ; 1 3
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 10906	. . . 4 |- ( ( 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 4 3
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 10900	. . 3 |- ( (; 1 9 x. 4 ) + 7 ) = ; 8 3
117		7lt10 10632	. . . 4 |- 7 < 10
118	60, 107, 20, 117	declti 10886	. . 3 |- 7 < ; 1 9
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 13727	. 2 |- -. ; 1 9 || ; 8 3
120	19, 2	decnncl 10874	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
121		4nn 10587	. . . 4 |- 4 e. NN
122	7, 121	decnncl 10874	. . 3 |- ; 1 4 e. NN
123		eqid 2452	. . . 4 |- ; 2 3 = ; 2 3
124		eqid 2452	. . . 4 |- ; 1 4 = ; 1 4
125	32, 15, 26	mulcomli 9499	. . . . . 6 |- ( 2 x. 3 ) = 6
126	125, 80	oveq12i 6207	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 6 + 2 )
127	126, 29	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 2 x. 3 ) + ( 1 + 1 ) ) = 8
128		3t3e9 10580	. . . . . 6 |- ( 3 x. 3 ) = 9
129	128	oveq1i 6205	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ( 9 + 4 )
130		9p4e13 10925	. . . . 5 |- ( 9 + 4 ) = ; 1 3
131	129, 130	eqtri 2481	. . . 4 |- ( ( 3 x. 3 ) + 4 ) = ; 1 3
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 10900	. . 3 |- ( (; 2 3 x. 3 ) + ; 1 4 ) = ; 8 3
133		4lt10 10635	. . . 4 |- 4 < 10
134		1lt2 10594	. . . 4 |- 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 10883	. . 3 |- ; 1 4 < ; 2 3
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 13727	. 2 |- -. ; 2 3 || ; 8 3
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 14260	1 |- ; 8 3 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1758  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389   + caddc 9391   x. cmul 9393   2c2 10477   3c3 10478   4c4 10479   5c5 10480   6c6 10481   7c7 10482   8c8 10483   9c9 10484  ;cdc 10861   Primecprime 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-prm 13877

This theorem is referenced by:  bpos1  22750