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Theorem lhe4.4ex1a 36672
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 22989):  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x  =  -u ( 2  /  3
). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 22989 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 22987 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9655 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 2re 10676 . . . . 5  |-  2  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
4 1le2 10820 . . . . 5  |-  1  <_  2
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  <_  2 )
6 reelprrecn 9628 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8 recn 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
9 3nn0 10884 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
10 expcl 12287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( y ^ 3 )  e.  CC )
119, 10mpan2 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
128, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
13 3cn 10681 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
14 3ne0 10701 . . . . . . . . . 10  |-  3  =/=  0
15 divcl 10273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1613, 14, 15mp3an23 1355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
18 mulcl 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 3  x.  y
)  e.  CC )
1913, 8, 18sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
2017, 19subcld 9983 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
2120adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
22 ovex 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( y ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
2417adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
25 ovex 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y ^ 2 )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 2 )  e.  _V )
27 divrec2 10284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
2813, 14, 27mp3an23 1355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3029mpteq2ia 4484 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3130oveq2i 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
y ^ 3 ) ) ) )
3212adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
33 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  _V )
35 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )
3635, 11fmpti 6043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC
37 ssid 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
38 ax-resscn 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
39 3nn 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  NN
40 dvexp 22900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) )
42 3m1e2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4342oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y ^ ( 3  -  1 ) )  =  ( y ^ 2 )
4443oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) )  =  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )
4544mpteq2i 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
4641, 45eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
4733, 46dmmpti 5705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  CC
4838, 47sseqtr4i 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )
49 dvres3 22861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR ) )
506, 36, 37, 48, 49mp4an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )
51 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )
5238, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) )
5352oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )
5446reseq1i 5100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  |`  RR )
55 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
5638, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5754, 56eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5850, 53, 573eqtr3i 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
60 ax-1cn 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
6160, 13, 14divcli 10346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
637, 32, 34, 59, 62dvmptcmul 22911 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) ) ) )
6463trud 1452 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
65 sqcl 12334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
66 mulcl 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( y ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
6713, 65, 66sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
68 divrec2 10284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
6913, 14, 68mp3an23 1355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
708, 67, 693syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
71 divcan3 10291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7213, 14, 71mp3an23 1355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
738, 65, 723syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7470, 73eqtr3d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y ^
2 ) )
7574mpteq2ia 4484 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
7631, 64, 753eqtri 2476 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^ 2 ) ) )
7819adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
79 3ex 10682 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
8079a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  3  e.  _V )
818adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
82 1red 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
837dvmptid 22904 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
8413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  3  e.  CC )
857, 81, 82, 83, 84dvmptcmul 22911 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) ) )
86 3t1e3 10757 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8786mpteq2i 4485 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 )
8885, 87syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 ) )
897, 24, 26, 77, 78, 80, 88dvmptsub 22914 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
90 1re 9639 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
91 iccssre 11713 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
9290, 2, 91mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  RR
9392a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
94 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9594tgioo2 21814 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
96 iccntr 21832 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
9790, 2, 96mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 1 [,] 2
) )  =  ( 1 (,) 2 )
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
997, 21, 23, 89, 93, 95, 94, 98dvmptres2 22909 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
100 ioossicc 11717 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  C_  ( 1 [,] 2
)
101 resmpt 5153 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
102100, 101ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
10392, 38sstri 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  CC
104 resmpt 5153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
106 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
107 subcl 9871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( y ^
2 )  -  3 )  e.  CC )
10813, 107mpan2 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
10965, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
110106, 109fmpti 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC
11137, 110, 373pm3.2i 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )
112 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 )  e. 
_V
113 cnelprrecn 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
11565adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
116 ovex 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  e.  _V )
118 2nn 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
119 dvexp 22900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) )
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) ) ) )
12213a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
123 c0ex 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
125114, 84dvmptc 22905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
126114, 115, 117, 121, 122, 124, 125dvmptsub 22914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 ) ) )
127126trud 1452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  - 
0 ) )
128112, 127dmmpti 5705 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC
129 dvcn 22868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
130111, 128, 129mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
131 rescncf 21922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
132103, 130, 131mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
133105, 132eqeltrri 2525 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
134 rescncf 21922 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 )
-cn-> CC ) ) )
135100, 133, 134mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
136102, 135eqeltrri 2525 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
13799, 136syl6eqel 2536 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  ( ( 1 (,) 2
) -cn-> CC ) )
138100a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) 2
)  C_  ( 1 [,] 2 ) )
139 ioombl 22511 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  e. 
dom  vol
140139a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) 2
)  e.  dom  vol )
14122a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,] 2
) )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
142 cniccibl 22791 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
14390, 2, 133, 142mp3an 1363 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  L^1
144143a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
145138, 140, 141, 144iblss 22755 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 (,) 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
14699, 145eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  L^1 )
147 resmpt 5153 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )
14892, 147ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
149 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
150149, 20fmpti 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC
151 ssid 3450 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
15238, 150, 1513pm3.2i 1185 . . . . . . . 8  |-  ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )
15389trud 1452 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
15422, 153dmmpti 5705 . . . . . . . 8  |-  dom  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR
155 dvcn 22868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR )  -> 
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC ) )
156152, 154, 155mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC )
157 rescncf 21922 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
15892, 156, 157mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
159148, 158eqeltrri 2525 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
160159a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC ) )
1611, 3, 5, 137, 146, 160ftc2 22989 . . 3  |-  ( T. 
->  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ` 
2 )  -  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
) ) )
162161trud 1452 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) `
 1 ) )
163 itgeq2 22728 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  ->  S. ( 1 (,) 2
) ( ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x )
164 oveq1 6295 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
165164oveq1d 6303 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  - 
3 ) )
16699trud 1452 . . . 4  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
167 ovex 6316 . . . 4  |-  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
168165, 166, 167fvmpt 5946 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 ) )
169163, 168mprg 2750 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x
1702leidi 10145 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  2
17190, 2elicc2i 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  2  <_ 
2 ) )
1722, 4, 170, 171mpbir3an 1189 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 [,] 2
)
173 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  2  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 2 ^ 3 ) )
174173oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 2 ^ 3 )  / 
3 ) )
175 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  2 ) )
176174, 175oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) )
177 cu2 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
178177oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
179 3t2e6 10758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
180178, 179oveq12i 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 8  / 
3 )  -  6 )
181 2cn 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
182 6cn 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  CC
183181, 182, 13, 14divdiri 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 6  /  3 ) )
184 6p2e8 10748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  +  2 )  =  8
185182, 181, 184addcomli 9822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  6 )  =  8
186185oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
187182, 13, 181, 14divmuli 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
188179, 187mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 6  /  3 )  =  2
189188oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 6  / 
3 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
190183, 186, 1893eqtr3i 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
191190oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
192181, 13, 14divcli 10346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
193 subsub3 9903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  /  3
)  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  - 
6 ) )
194192, 182, 181, 193mp3an 1363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
195191, 194eqtr4i 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
6  -  2 ) )
196 4cn 10684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
197 4p2e6 10741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  +  2 )  =  6
198196, 181, 197addcomli 9822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  4 )  =  6
199182, 181, 196, 198subaddrii 9961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  -  2 )  =  4
200199oveq2i 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
201180, 195, 2003eqtri 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
202176, 201syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 ) )
203 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
204 ovex 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  -  4 )  e. 
_V
205202, 203, 204fvmpt 5946 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  =  ( ( 2  /  3 )  -  4 ) )
206172, 205ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 )
20790leidi 10145 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
20890, 2elicc2i 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  1  <_  1  /\  1  <_ 
2 ) )
20990, 207, 4, 208mpbir3an 1189 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 1 [,] 2
)
210 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 1 ^ 3 ) )
211210oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1 ^ 3 )  / 
3 ) )
212 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  1 ) )
213211, 212oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) ) )
214 3z 10967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ZZ
215 1exp 12298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1 ^ 3 )  =  1 )
216214, 215ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 3 )  =  1
217216oveq1i 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
218217, 86oveq12i 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  3 )
219213, 218syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
220 ovex 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  -  3 )  e. 
_V
221219, 203, 220fvmpt 5946 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
)  =  ( ( 1  /  3 )  -  3 ) )
222209, 221ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 )
223206, 222oveq12i 6300 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
224 sub4 9916 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  / 
3 )  e.  CC  /\  4  e.  CC )  /\  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 2  /  3 )  - 
4 )  -  (
( 1  /  3
)  -  3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) ) )
225192, 196, 61, 13, 224mp4an 678 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  /  3
) )  -  (
4  -  3 ) )
22613, 14pm3.2i 457 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
227 divsubdir 10300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
228181, 60, 226, 227mp3an 1363 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
229 2m1e1 10721 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
230229oveq1i 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
231228, 230eqtr3i 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
232 3p1e4 10732 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
233196, 13, 60, 232subaddrii 9961 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  3 )  =  1
234231, 233oveq12i 6300 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
235223, 225, 2343eqtri 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  1 )
23613, 14dividi 10337 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
237236oveq2i 6299 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
238235, 237eqtr4i 2475 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )
239 divsubdir 10300 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  -  ( 3  /  3 ) ) )
24060, 13, 226, 239mp3an 1363 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  (
3  /  3 ) )
241238, 240eqtr4i 2475 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  -  3 )  /  3 )
242 divneg 10299 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 ) )
243181, 13, 14, 242mp3an 1363 . . . 4  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 )
24413, 60negsubdi2i 9958 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  ( 1  -  3 )
24542negeqi 9865 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  -u 2
246244, 245eqtr3i 2474 . . . . 5  |-  ( 1  -  3 )  = 
-u 2
247246oveq1i 6298 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( -u 2  / 
3 )
248243, 247eqtr4i 2475 . . 3  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )
249241, 248eqtr4i 2475 . 2  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  -u (
2  /  3 )
250162, 169, 2493eqtr3i 2480 1  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   T. wtru 1444    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    <_ cle 9673    - cmin 9857   -ucneg 9858    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   4c4 10658   6c6 10660   8c8 10662   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   ^cexp 12269   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   intcnt 20025   -cn->ccncf 21901   volcvol 22408   L^1cibl 22568   S.citg 22569    _D cdv 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573  df-itg 22574  df-0p 22621  df-limc 22814  df-dv 22815
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