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Theorem lhe4.4ex1a 30834
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 22180):  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x  =  -u ( 2  /  3
). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 22180 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 22178 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9591 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
3 2re 10601 . . . . 5  |-  2  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
5 1le2 10745 . . . . 5  |-  1  <_  2
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  <_  2 )
7 reelprrecn 9580 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
9 recn 9578 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
10 3nn0 10809 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
11 expcl 12148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( y ^ 3 )  e.  CC )
1210, 11mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
139, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
14 3cn 10606 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
15 3ne0 10626 . . . . . . . . . 10  |-  3  =/=  0
16 divcl 10209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1714, 15, 16mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1813, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
19 mulcl 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 3  x.  y
)  e.  CC )
2014, 9, 19sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
2118, 20subcld 9926 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
23 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( ( y ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
2518adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
26 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( y ^ 2 )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 2 )  e.  _V )
28 divrec2 10220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
2914, 15, 28mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3013, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3130mpteq2ia 4529 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3231oveq2i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
y ^ 3 ) ) ) )
3313adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
34 ovex 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  _V )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )
3736, 12fmpti 6042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC
38 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
39 ax-resscn 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
40 3nn 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  NN
41 dvexp 22091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) )
43 3m1e2 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4443oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y ^ ( 3  -  1 ) )  =  ( y ^ 2 )
4544oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) )  =  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )
4645mpteq2i 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
4742, 46eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
4834, 47dmmpti 5708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  CC
4939, 48sseqtr4i 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )
50 dvres3 22052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR ) )
517, 37, 38, 49, 50mp4an 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )
52 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )
5339, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) )
5453oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )
5547reseq1i 5267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  |`  RR )
56 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
5739, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5855, 57eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5951, 54, 583eqtr3i 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
61 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
6261, 14, 15divcli 10282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
648, 33, 35, 60, 63dvmptcmul 22102 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) ) ) )
6564trud 1388 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
66 sqcl 12194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
67 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( y ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
6814, 66, 67sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
69 divrec2 10220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
7014, 15, 69mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
719, 68, 703syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
72 divcan3 10227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7314, 15, 72mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
749, 66, 733syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7571, 74eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y ^
2 ) )
7675mpteq2ia 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
7732, 65, 763eqtri 2500 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
7877a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^ 2 ) ) )
7920adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
80 3ex 10607 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  3  e.  _V )
829adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
831a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
848dvmptid 22095 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
8514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  3  e.  CC )
868, 82, 83, 84, 85dvmptcmul 22102 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) ) )
87 3t1e3 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8887mpteq2i 4530 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 )
8986, 88syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 ) )
908, 25, 27, 78, 79, 81, 89dvmptsub 22105 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
91 iccssre 11602 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
921, 3, 91mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  RR
9392a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
94 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9594tgioo2 21043 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
96 iccntr 21061 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
971, 3, 96mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 1 [,] 2
) )  =  ( 1 (,) 2 )
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
998, 22, 24, 90, 93, 95, 94, 98dvmptres2 22100 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
100 ioossicc 11606 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  C_  ( 1 [,] 2
)
101 resmpt 5321 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
102100, 101ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
10392, 39sstri 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  CC
104 resmpt 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
106 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
107 subcl 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( y ^
2 )  -  3 )  e.  CC )
10814, 107mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
10966, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
110106, 109fmpti 6042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC
11138, 110, 383pm3.2i 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )
112 ovex 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 )  e. 
_V
113 cnelprrecn 9581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
11566adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
116 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  e.  _V )
118 2nn 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
119 dvexp 22091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) )
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) ) ) )
12214a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
123 c0ex 9586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
125114, 85dvmptc 22096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
126114, 115, 117, 121, 122, 124, 125dvmptsub 22105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 ) ) )
127126trud 1388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  - 
0 ) )
128112, 127dmmpti 5708 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC
129 dvcn 22059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
130111, 128, 129mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
131 rescncf 21136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
132103, 130, 131mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
133105, 132eqeltrri 2552 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
134 rescncf 21136 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 )
-cn-> CC ) ) )
135100, 133, 134mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
136102, 135eqeltrri 2552 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
13799, 136syl6eqel 2563 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  ( ( 1 (,) 2
) -cn-> CC ) )
138100a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) 2
)  C_  ( 1 [,] 2 ) )
139 ioombl 21710 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  e. 
dom  vol
140139a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) 2
)  e.  dom  vol )
14123a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,] 2
) )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
142 cniccibl 21982 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
1431, 3, 133, 142mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  L^1
144143a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
145138, 140, 141, 144iblss 21946 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 (,) 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
14699, 145eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  L^1 )
147 resmpt 5321 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )
14892, 147ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
149 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
150149, 21fmpti 6042 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC
151 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
15239, 150, 1513pm3.2i 1174 . . . . . . . 8  |-  ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )
15390trud 1388 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
15423, 153dmmpti 5708 . . . . . . . 8  |-  dom  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR
155 dvcn 22059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR )  -> 
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC ) )
156152, 154, 155mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC )
157 rescncf 21136 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
15892, 156, 157mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
159148, 158eqeltrri 2552 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
160159a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC ) )
1612, 4, 6, 137, 146, 160ftc2 22180 . . 3  |-  ( T. 
->  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ` 
2 )  -  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
) ) )
162161trud 1388 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) `
 1 ) )
163 itgeq2 21919 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  ->  S. ( 1 (,) 2
) ( ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x )
164 oveq1 6289 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
165164oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  - 
3 ) )
16699trud 1388 . . . 4  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
167 ovex 6307 . . . 4  |-  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
168165, 166, 167fvmpt 5948 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 ) )
169163, 168mprg 2827 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x
1703leidi 10083 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  2
1711, 3elicc2i 11586 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  2  <_ 
2 ) )
1723, 5, 170, 171mpbir3an 1178 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 [,] 2
)
173 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  2  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 2 ^ 3 ) )
174173oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 2 ^ 3 )  / 
3 ) )
175 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  2 ) )
176174, 175oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) )
177 cu2 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
178177oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
179 3t2e6 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
180178, 179oveq12i 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 8  / 
3 )  -  6 )
181 2cn 10602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
182 6cn 10613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  CC
183181, 182, 14, 15divdiri 10297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 6  /  3 ) )
184 6p2e8 10673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  +  2 )  =  8
185182, 181, 184addcomli 9767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  6 )  =  8
186185oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
187182, 14, 181, 15divmuli 10294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
188179, 187mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 6  /  3 )  =  2
189188oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 6  / 
3 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
190183, 186, 1893eqtr3i 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
191190oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
192181, 14, 15divcli 10282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
193 subsub3 9847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  /  3
)  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  - 
6 ) )
194192, 182, 181, 193mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
195191, 194eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
6  -  2 ) )
196 4cn 10609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
197 4p2e6 10666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  +  2 )  =  6
198196, 181, 197addcomli 9767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  4 )  =  6
199182, 181, 196, 198subaddrii 9904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  -  2 )  =  4
200199oveq2i 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
201180, 195, 2003eqtri 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
202176, 201syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 ) )
203 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
204 ovex 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  -  4 )  e. 
_V
205202, 203, 204fvmpt 5948 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  =  ( ( 2  /  3 )  -  4 ) )
206172, 205ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 )
2071leidi 10083 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2081, 3elicc2i 11586 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  1  <_  1  /\  1  <_ 
2 ) )
2091, 207, 5, 208mpbir3an 1178 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 1 [,] 2
)
210 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 1 ^ 3 ) )
211210oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1 ^ 3 )  / 
3 ) )
212 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  1 ) )
213211, 212oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) ) )
214 3z 10893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ZZ
215 1exp 12159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1 ^ 3 )  =  1 )
216214, 215ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 3 )  =  1
217216oveq1i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
218217, 87oveq12i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  3 )
219213, 218syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
220 ovex 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  -  3 )  e. 
_V
221219, 203, 220fvmpt 5948 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
)  =  ( ( 1  /  3 )  -  3 ) )
222209, 221ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 )
223206, 222oveq12i 6294 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
224 sub4 9860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  / 
3 )  e.  CC  /\  4  e.  CC )  /\  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 2  /  3 )  - 
4 )  -  (
( 1  /  3
)  -  3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) ) )
225192, 196, 62, 14, 224mp4an 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  /  3
) )  -  (
4  -  3 ) )
22614, 15pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
227 divsubdir 10236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
228181, 61, 226, 227mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
229 2m1e1 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
230229oveq1i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
231228, 230eqtr3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
232 3p1e4 10657 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
233196, 14, 61, 232subaddrii 9904 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  3 )  =  1
234231, 233oveq12i 6294 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
235223, 225, 2343eqtri 2500 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  1 )
23614, 15dividi 10273 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
237236oveq2i 6293 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
238235, 237eqtr4i 2499 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )
239 divsubdir 10236 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  -  ( 3  /  3 ) ) )
24061, 14, 226, 239mp3an 1324 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  (
3  /  3 ) )
241238, 240eqtr4i 2499 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  -  3 )  /  3 )
242 divneg 10235 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 ) )
243181, 14, 15, 242mp3an 1324 . . . 4  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 )
24414, 61negsubdi2i 9901 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  ( 1  -  3 )
24543negeqi 9809 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  -u 2
246244, 245eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( 1  -  3 )  = 
-u 2
247246oveq1i 6292 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( -u 2  / 
3 )
248243, 247eqtr4i 2499 . . 3  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )
249241, 248eqtr4i 2499 . 2  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  -u (
2  /  3 )
250162, 169, 2493eqtr3i 2504 1  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   6c6 10585   8c8 10587   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ^cexp 12130   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689  ℂfldccnfld 18191   intcnt 19284   -cn->ccncf 21115   volcvol 21610   L^1cibl 21761   S.citg 21762    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006
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