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Theorem lhe4.4ex1a 31438
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 22571):  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x  =  -u ( 2  /  3
). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 22571 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 22569 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9628 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 2re 10626 . . . . 5  |-  2  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  2  e.  RR )
4 1le2 10770 . . . . 5  |-  1  <_  2
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  <_  2 )
6 reelprrecn 9601 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8 recn 9599 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
9 3nn0 10834 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
10 expcl 12187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( y ^ 3 )  e.  CC )
119, 10mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
128, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
13 3cn 10631 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
14 3ne0 10651 . . . . . . . . . 10  |-  3  =/=  0
15 divcl 10234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1613, 14, 15mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
18 mulcl 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 3  x.  y
)  e.  CC )
1913, 8, 18sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
2017, 19subcld 9950 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
22 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( y ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
2417adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
25 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( y ^ 2 )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 2 )  e.  _V )
27 divrec2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
2813, 14, 27mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
2912, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3029mpteq2ia 4539 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3130oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
y ^ 3 ) ) ) )
3212adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
33 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  _V )
35 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )
3635, 11fmpti 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC
37 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
38 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
39 3nn 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  NN
40 dvexp 22482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) )
42 3m1e2 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  -  1 )  =  2
4342oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y ^ ( 3  -  1 ) )  =  ( y ^ 2 )
4443oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) )  =  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )
4544mpteq2i 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
4641, 45eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
4733, 46dmmpti 5716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  CC
4838, 47sseqtr4i 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )
49 dvres3 22443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR ) )
506, 36, 37, 48, 49mp4an 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )
51 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )
5238, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) )
5352oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )
5446reseq1i 5279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  |`  RR )
55 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
5638, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5754, 56eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5850, 53, 573eqtr3i 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
60 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
6160, 13, 14divcli 10307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
637, 32, 34, 59, 62dvmptcmul 22493 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) ) ) )
6463trud 1404 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
65 sqcl 12233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
66 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( y ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
6713, 65, 66sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
68 divrec2 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
6913, 14, 68mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
708, 67, 693syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
71 divcan3 10252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7213, 14, 71mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
738, 65, 723syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7470, 73eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y ^
2 ) )
7574mpteq2ia 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
7631, 64, 753eqtri 2490 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^ 2 ) ) )
7819adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
79 3ex 10632 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
8079a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  3  e.  _V )
818adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
82 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
837dvmptid 22486 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
8413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  3  e.  CC )
857, 81, 82, 83, 84dvmptcmul 22493 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) ) )
86 3t1e3 10707 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8786mpteq2i 4540 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 )
8885, 87syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 ) )
897, 24, 26, 77, 78, 80, 88dvmptsub 22496 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
90 1re 9612 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
91 iccssre 11631 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
9290, 2, 91mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  RR
9392a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
94 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9594tgioo2 21434 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
96 iccntr 21452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
9790, 2, 96mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 1 [,] 2
) )  =  ( 1 (,) 2 )
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
997, 21, 23, 89, 93, 95, 94, 98dvmptres2 22491 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
100 ioossicc 11635 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  C_  ( 1 [,] 2
)
101 resmpt 5333 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
102100, 101ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
10392, 38sstri 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  CC
104 resmpt 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
106 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
107 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( y ^
2 )  -  3 )  e.  CC )
10813, 107mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
10965, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
110106, 109fmpti 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC
11137, 110, 373pm3.2i 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )
112 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 )  e. 
_V
113 cnelprrecn 9602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
11565adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
116 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  e.  _V )
118 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
119 dvexp 22482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) )
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) ) ) )
12213a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
123 c0ex 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
125114, 84dvmptc 22487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
126114, 115, 117, 121, 122, 124, 125dvmptsub 22496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 ) ) )
127126trud 1404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  - 
0 ) )
128112, 127dmmpti 5716 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC
129 dvcn 22450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
130111, 128, 129mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
131 rescncf 21527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
132103, 130, 131mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
133105, 132eqeltrri 2542 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
134 rescncf 21527 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 )
-cn-> CC ) ) )
135100, 133, 134mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
136102, 135eqeltrri 2542 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
13799, 136syl6eqel 2553 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  ( ( 1 (,) 2
) -cn-> CC ) )
138100a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) 2
)  C_  ( 1 [,] 2 ) )
139 ioombl 22101 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  e. 
dom  vol
140139a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) 2
)  e.  dom  vol )
14122a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,] 2
) )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
142 cniccibl 22373 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
14390, 2, 133, 142mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  L^1
144143a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
145138, 140, 141, 144iblss 22337 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 (,) 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L^1 )
14699, 145eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  L^1 )
147 resmpt 5333 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )
14892, 147ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
149 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
150149, 20fmpti 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC
151 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
15238, 150, 1513pm3.2i 1174 . . . . . . . 8  |-  ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )
15389trud 1404 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
15422, 153dmmpti 5716 . . . . . . . 8  |-  dom  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR
155 dvcn 22450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR )  -> 
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC ) )
156152, 154, 155mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC )
157 rescncf 21527 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
15892, 156, 157mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
159148, 158eqeltrri 2542 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
160159a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC ) )
1611, 3, 5, 137, 146, 160ftc2 22571 . . 3  |-  ( T. 
->  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ` 
2 )  -  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
) ) )
162161trud 1404 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) `
 1 ) )
163 itgeq2 22310 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  ->  S. ( 1 (,) 2
) ( ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x )
164 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
165164oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  - 
3 ) )
16699trud 1404 . . . 4  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
167 ovex 6324 . . . 4  |-  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
168165, 166, 167fvmpt 5956 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 ) )
169163, 168mprg 2820 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x
1702leidi 10108 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  2
17190, 2elicc2i 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  2  <_ 
2 ) )
1722, 4, 170, 171mpbir3an 1178 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 [,] 2
)
173 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  2  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 2 ^ 3 ) )
174173oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 2 ^ 3 )  / 
3 ) )
175 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  2 ) )
176174, 175oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) )
177 cu2 12269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
178177oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
179 3t2e6 10708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
180178, 179oveq12i 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 8  / 
3 )  -  6 )
181 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
182 6cn 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  CC
183181, 182, 13, 14divdiri 10322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 6  /  3 ) )
184 6p2e8 10698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  +  2 )  =  8
185182, 181, 184addcomli 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  6 )  =  8
186185oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
187182, 13, 181, 14divmuli 10319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
188179, 187mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 6  /  3 )  =  2
189188oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 6  / 
3 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
190183, 186, 1893eqtr3i 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
191190oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
192181, 13, 14divcli 10307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
193 subsub3 9870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  /  3
)  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  - 
6 ) )
194192, 182, 181, 193mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
195191, 194eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
6  -  2 ) )
196 4cn 10634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
197 4p2e6 10691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  +  2 )  =  6
198196, 181, 197addcomli 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  4 )  =  6
199182, 181, 196, 198subaddrii 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  -  2 )  =  4
200199oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
201180, 195, 2003eqtri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
202176, 201syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 ) )
203 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
204 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  -  4 )  e. 
_V
205202, 203, 204fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  =  ( ( 2  /  3 )  -  4 ) )
206172, 205ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 )
20790leidi 10108 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
20890, 2elicc2i 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  1  <_  1  /\  1  <_ 
2 ) )
20990, 207, 4, 208mpbir3an 1178 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 1 [,] 2
)
210 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 1 ^ 3 ) )
211210oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1 ^ 3 )  / 
3 ) )
212 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  1 ) )
213211, 212oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) ) )
214 3z 10918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ZZ
215 1exp 12198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1 ^ 3 )  =  1 )
216214, 215ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 3 )  =  1
217216oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
218217, 86oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  3 )
219213, 218syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
220 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  -  3 )  e. 
_V
221219, 203, 220fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
)  =  ( ( 1  /  3 )  -  3 ) )
222209, 221ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 )
223206, 222oveq12i 6308 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
224 sub4 9883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  / 
3 )  e.  CC  /\  4  e.  CC )  /\  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 2  /  3 )  - 
4 )  -  (
( 1  /  3
)  -  3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) ) )
225192, 196, 61, 13, 224mp4an 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  /  3
) )  -  (
4  -  3 ) )
22613, 14pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
227 divsubdir 10261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
228181, 60, 226, 227mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
229 2m1e1 10671 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
230229oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
231228, 230eqtr3i 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
232 3p1e4 10682 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
233196, 13, 60, 232subaddrii 9928 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  3 )  =  1
234231, 233oveq12i 6308 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
235223, 225, 2343eqtri 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  1 )
23613, 14dividi 10298 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
237236oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
238235, 237eqtr4i 2489 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )
239 divsubdir 10261 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  -  ( 3  /  3 ) ) )
24060, 13, 226, 239mp3an 1324 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  (
3  /  3 ) )
241238, 240eqtr4i 2489 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  -  3 )  /  3 )
242 divneg 10260 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 ) )
243181, 13, 14, 242mp3an 1324 . . . 4  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 )
24413, 60negsubdi2i 9925 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  ( 1  -  3 )
24542negeqi 9832 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  -u 2
246244, 245eqtr3i 2488 . . . . 5  |-  ( 1  -  3 )  = 
-u 2
247246oveq1i 6306 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( -u 2  / 
3 )
248243, 247eqtr4i 2489 . . 3  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )
249241, 248eqtr4i 2489 . 2  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  -u (
2  /  3 )
250162, 169, 2493eqtr3i 2494 1  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   6c6 10610   8c8 10612   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   intcnt 19645   -cn->ccncf 21506   volcvol 22001   L^1cibl 22152   S.citg 22153    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-itg 22158  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397
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