MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0uz Structured version   Unicode version

Theorem nn0uz 10882
Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0uz  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )

Proof of Theorem nn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0zrab 10662 . 2  |-  NN0  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k }
2 0z 10644 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 uzval 10850 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  0 )  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k } )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
0  <_  k }
51, 4eqtr4i 2456 1  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   0cc0 9269    <_ cle 9406   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849
This theorem is referenced by:  elnn0uz  10885  eluznn0  10911  nn0infm  10923  fznn0sub2  11474  fseq1p1m1  11517  fzossnn0  11563  fzennn  11773  hashgf1o  11776  exple1  11906  faclbnd4lem1  12052  bcn0  12069  bcn1  12072  bcval5  12077  bcpasc  12080  hashfzo0  12174  hashf1  12193  ccatval2  12260  ccatass  12269  swrdid  12304  swrdccat1  12334  swrdccat2  12335  wrdeqcats1  12351  wrdeqs1cat  12352  cats1un  12353  splfv2a  12381  splval2  12382  revccat  12389  cats1fv  12469  binom1dif  13278  isumnn0nn  13287  climcndslem1  13294  climcnds  13296  harmonic  13303  arisum2  13305  explecnv  13309  geoser  13311  geolim  13312  geolim2  13313  geomulcvg  13318  geoisum  13319  geoisumr  13320  mertenslem1  13326  mertenslem2  13327  mertens  13328  efcllem  13345  ef0lem  13346  eff  13349  efcvg  13352  efcvgfsum  13353  reefcl  13354  ege2le3  13357  efcj  13359  eftlcvg  13372  eftlub  13375  effsumlt  13377  ef4p  13379  efgt1p2  13380  efgt1p  13381  eflegeo  13387  eirrlem  13468  ruclem6  13499  ruclem7  13500  divalglem2  13581  divalglem5  13583  bitsfzolem  13612  bitsfzo  13613  bitsfi  13615  bitsinv1lem  13619  bitsinv1  13620  bitsinvp1  13627  sadcf  13631  sadcp1  13633  sadadd  13645  sadass  13649  bitsres  13651  smupf  13656  smupp1  13658  smuval2  13660  smupval  13666  smueqlem  13668  smumul  13671  alginv  13732  algcvg  13733  algcvga  13736  algfx  13737  eucalgcvga  13743  eucalg  13744  dfphi2  13831  phiprmpw  13833  prmdiv  13842  iserodd  13884  pcfac  13943  prmreclem2  13960  prmreclem4  13962  vdwapun  14017  vdwlem1  14024  ramcl2lem  14052  ramtcl  14053  ramtub  14055  gsumwsubmcl  15495  gsumws1  15496  gsumccat  15498  gsumwmhm  15502  psgnunilem2  15980  psgnunilem4  15982  sylow1lem1  16076  efginvrel2  16203  efgsp1  16213  efgsres  16214  efgredleme  16219  efgredlemd  16220  efgredlemc  16221  efgredlem  16223  efgcpbllemb  16231  frgpuplem  16248  pgpfaclem1  16555  psrbaglefi  17374  psrbaglefiOLD  17375  ltbwe  17485  iscmet3lem3  20642  dyadmax  20919  mbfi1fseqlem3  21036  iblcnlem1  21106  itgcnlem  21108  dvnff  21238  dvnp1  21240  dvn2bss  21245  cpncn  21251  dveflem  21292  c1lip2  21311  ig1peu  21527  ig1pdvds  21532  ply1termlem  21555  plyeq0lem  21562  plyaddlem1  21565  plymullem1  21566  coeeulem  21576  dgrcl  21585  dgrub  21586  dgrlb  21588  coeid3  21592  plyco  21593  coeeq2  21594  coefv0  21599  coemulhi  21605  coemulc  21606  dvply1  21634  vieta1lem2  21661  vieta1  21662  elqaalem2  21670  elqaalem3  21671  geolim3  21689  dvtaylp  21719  dvntaylp  21720  taylthlem1  21722  taylthlem2  21723  radcnvlem1  21762  radcnvlem2  21763  radcnvlem3  21764  radcnv0  21765  radcnvlt2  21768  dvradcnv  21770  pserulm  21771  psercn2  21772  pserdvlem2  21777  pserdv2  21779  abelthlem4  21783  abelthlem5  21784  abelthlem6  21785  abelthlem7  21787  abelthlem8  21788  abelthlem9  21789  advlogexp  21984  logtayllem  21988  logtayl  21989  cxpeq  22079  leibpilem2  22220  leibpi  22221  leibpisum  22222  log2cnv  22223  log2tlbnd  22224  log2ublem2  22226  birthdaylem3  22231  wilthlem2  22291  ftalem1  22294  ftalem5  22298  basellem2  22303  basellem3  22304  basellem5  22306  musum  22415  0sgmppw  22421  1sgmprm  22422  chtublem  22434  logexprlim  22448  lgseisenlem1  22572  lgsquadlem2  22578  dchrisumlem1  22622  dchrisumlem2  22623  dchrisum0flblem1  22641  ostth2lem3  22768  eupares  23418  eupap1  23419  eupath2lem3  23422  eupath2  23423  konigsberg  23430  oddpwdc  26584  eulerpartlemb  26598  sseqfn  26620  sseqf  26622  ballotlemfrci  26757  ballotlemfrceq  26758  signsplypnf  26798  signstcl  26813  signstf  26814  signstfvn  26817  signstfvneq0  26820  signsvfn  26830  subfacval2  26922  subfaclim  26923  cvmliftlem7  27027  relexpsucr  27178  fallfacfwd  27385  0fallfac  27386  binomfallfaclem2  27389  prednn0  27509  bpolylem  28037  bpolysum  28042  bpolydiflem  28043  fsumkthpow  28045  bpoly2  28046  bpoly3  28047  bpoly4  28048  heiborlem4  28554  heiborlem6  28556  mapfzcons  28894  irrapxlem1  29005  ltrmynn0  29133  ltrmxnn0  29134  acongeq  29168  jm2.23  29187  jm2.26lem3  29192  stoweidlem17  29655  stoweidlem34  29672  stirlinglem5  29716  stirlinglem7  29718
  Copyright terms: Public domain W3C validator