Theorem nn0uz 10887

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 10667	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 10649	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 10855	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2461	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2714   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   0cc0 9274   <_ cle 9411   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854

This theorem is referenced by:  elnn0uz  10890  eluznn0  10916  nn0infm  10928  fznn0sub2  11480  fseq1p1m1  11526  fzossnn0  11572  fzennn  11782  hashgf1o  11785  exple1  11915  faclbnd4lem1  12061  bcn0  12078  bcn1  12081  bcval5  12086  bcpasc  12089  hashfzo0  12183  hashf1  12202  ccatval2  12269  ccatass  12278  swrdid  12313  swrdccat1  12343  swrdccat2  12344  wrdeqcats1  12360  wrdeqs1cat  12361  cats1un  12362  splfv2a  12390  splval2  12391  revccat  12398  cats1fv  12478  binom1dif  13288  isumnn0nn  13297  climcndslem1  13304  climcnds  13306  harmonic  13313  arisum2  13315  explecnv  13319  geoser  13321  geolim  13322  geolim2  13323  geomulcvg  13328  geoisum  13329  geoisumr  13330  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  mertens  13338  efcllem  13355  ef0lem  13356  eff  13359  efcvg  13362  efcvgfsum  13363  reefcl  13364  ege2le3  13367  efcj  13369  eftlcvg  13382  eftlub  13385  effsumlt  13387  ef4p  13389  efgt1p2  13390  efgt1p  13391  eflegeo  13397  eirrlem  13478  ruclem6  13509  ruclem7  13510  divalglem2  13591  divalglem5  13593  bitsfzolem  13622  bitsfzo  13623  bitsfi  13625  bitsinv1lem  13629  bitsinv1  13630  bitsinvp1  13637  sadcf  13641  sadcp1  13643  sadadd  13655  sadass  13659  bitsres  13661  smupf  13666  smupp1  13668  smuval2  13670  smupval  13676  smueqlem  13678  smumul  13681  alginv  13742  algcvg  13743  algcvga  13746  algfx  13747  eucalgcvga  13753  eucalg  13754  dfphi2  13841  phiprmpw  13843  prmdiv  13852  iserodd  13894  pcfac  13953  prmreclem2  13970  prmreclem4  13972  vdwapun  14027  vdwlem1  14034  ramcl2lem  14062  ramtcl  14063  ramtub  14065  gsumwsubmcl  15507  gsumws1  15508  gsumccat  15510  gsumwmhm  15514  psgnunilem2  15992  psgnunilem4  15994  sylow1lem1  16088  efginvrel2  16215  efgsp1  16225  efgsres  16226  efgredleme  16231  efgredlemd  16232  efgredlemc  16233  efgredlem  16235  efgcpbllemb  16243  frgpuplem  16260  pgpfaclem1  16572  psrbaglefi  17421  psrbaglefiOLD  17422  ltbwe  17534  iscmet3lem3  20781  dyadmax  21058  mbfi1fseqlem3  21175  iblcnlem1  21245  itgcnlem  21247  dvnff  21377  dvnp1  21379  dvn2bss  21384  cpncn  21390  dveflem  21431  c1lip2  21450  ig1peu  21623  ig1pdvds  21628  ply1termlem  21651  plyeq0lem  21658  plyaddlem1  21661  plymullem1  21662  coeeulem  21672  dgrcl  21681  dgrub  21682  dgrlb  21684  coeid3  21688  plyco  21689  coeeq2  21690  coefv0  21695  coemulhi  21701  coemulc  21702  dvply1  21730  vieta1lem2  21757  vieta1  21758  elqaalem2  21766  elqaalem3  21767  geolim3  21785  dvtaylp  21815  dvntaylp  21816  taylthlem1  21818  taylthlem2  21819  radcnvlem1  21858  radcnvlem2  21859  radcnvlem3  21860  radcnv0  21861  radcnvlt2  21864  dvradcnv  21866  pserulm  21867  psercn2  21868  pserdvlem2  21873  pserdv2  21875  abelthlem4  21879  abelthlem5  21880  abelthlem6  21881  abelthlem7  21883  abelthlem8  21884  abelthlem9  21885  advlogexp  22080  logtayllem  22084  logtayl  22085  cxpeq  22175  leibpilem2  22316  leibpi  22317  leibpisum  22318  log2cnv  22319  log2tlbnd  22320  log2ublem2  22322  birthdaylem3  22327  wilthlem2  22387  ftalem1  22390  ftalem5  22394  basellem2  22399  basellem3  22400  basellem5  22402  musum  22511  0sgmppw  22517  1sgmprm  22518  chtublem  22530  logexprlim  22544  lgseisenlem1  22668  lgsquadlem2  22674  dchrisumlem1  22718  dchrisumlem2  22719  dchrisum0flblem1  22737  ostth2lem3  22864  eupares  23564  eupap1  23565  eupath2lem3  23568  eupath2  23569  konigsberg  23576  oddpwdc  26706  eulerpartlemb  26720  sseqfn  26742  sseqf  26744  ballotlemfrci  26879  ballotlemfrceq  26880  signsplypnf  26920  signstcl  26935  signstf  26936  signstfvn  26939  signstfvneq0  26942  signsvfn  26952  subfacval2  27044  subfaclim  27045  cvmliftlem7  27149  relexpsucr  27301  fallfacfwd  27508  0fallfac  27509  binomfallfaclem2  27512  prednn0  27632  bpolylem  28160  bpolysum  28165  bpolydiflem  28166  fsumkthpow  28168  bpoly2  28169  bpoly3  28170  bpoly4  28171  heiborlem4  28684  heiborlem6  28686  mapfzcons  29023  irrapxlem1  29134  ltrmynn0  29262  ltrmxnn0  29263  acongeq  29297  jm2.23  29316  jm2.26lem3  29321  stoweidlem17  29783  stoweidlem34  29800  stirlinglem5  29844  stirlinglem7  29846  ssnn0ssfz  30711  nn0gsumfz  30773