MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0uz Structured version   Unicode version

Theorem nn0uz 11193
Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0uz  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )

Proof of Theorem nn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0zrab 10966 . 2  |-  NN0  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k }
2 0z 10948 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 uzval 11161 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  0 )  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k } )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
0  <_  k }
51, 4eqtr4i 2461 1  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   0cc0 9538    <_ cle 9675   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  elnn0uz  11196  2eluzge0  11203  eluznn0  11228  nn0inf  11241  nn0infmOLD  11243  fseq1p1m1  11866  fznn0sub2  11895  nn0split  11904  prednn0  11911  fzossnn0  11947  fzennn  12178  hashgf1o  12181  exple1  12329  faclbnd4lem1  12475  bcval5  12500  bcpasc  12503  hashfzo0  12597  hashf1  12615  ccatval2  12710  ccatass  12719  ccatrn  12720  swrdccat1  12798  swrdccat2  12799  wrdeqs1cat  12816  cats1un  12817  splfv2a  12848  splval2  12849  revccat  12856  cats1fv  12940  binom1dif  13869  isumnn0nn  13878  climcndslem1  13885  climcnds  13887  harmonic  13895  arisum2  13897  explecnv  13901  geoser  13903  geolim  13904  geolim2  13905  geomulcvg  13910  geoisum  13911  geoisumr  13912  mertenslem1  13918  mertenslem2  13919  mertens  13920  fallfacfwd  14067  0fallfac  14068  binomfallfaclem2  14071  bpolylem  14079  bpolysum  14084  bpolydiflem  14085  fsumkthpow  14087  bpoly2  14088  bpoly3  14089  bpoly4  14090  efcllem  14110  ef0lem  14111  eff  14114  efcvg  14117  efcvgfsum  14118  reefcl  14119  ege2le3  14122  efcj  14124  eftlcvg  14138  eftlub  14141  effsumlt  14143  ef4p  14145  efgt1p2  14146  efgt1p  14147  eflegeo  14153  eirrlem  14234  ruclem6  14265  ruclem7  14266  divalglem2  14351  divalglem5  14353  bitsfzolem  14382  bitsfzo  14383  bitsfi  14385  bitsinv1lem  14389  bitsinv1  14390  bitsinvp1  14397  sadcf  14401  sadcp1  14403  sadadd  14415  sadass  14419  bitsres  14421  smupf  14426  smupp1  14428  smuval2  14430  smupval  14436  smueqlem  14438  smumul  14441  alginv  14505  algcvg  14506  algcvga  14509  algfx  14510  eucalgcvga  14516  eucalg  14517  phiprmpw  14693  prmdiv  14702  iserodd  14748  pcfac  14807  prmreclem2  14824  prmreclem4  14826  vdwapun  14887  vdwlem1  14894  ramcl2lem  14925  ramcl2lemOLD  14926  ramtcl  14927  ramtclOLD  14928  ramtub  14931  ramtubOLD  14932  gsumwsubmcl  16573  gsumws1  16574  gsumccat  16576  gsumwmhm  16580  psgnunilem2  17087  psgnunilem4  17089  sylow1lem1  17185  efginvrel2  17312  efgredleme  17328  efgredlemc  17330  efgcpbllemb  17340  frgpuplem  17357  nn0gsumfz  17548  telgsumfz0s  17556  telgsums  17558  pgpfaclem1  17649  psrbaglefi  18531  ltbwe  18631  pmatcollpw3fi  19740  pmatcollpw3fi1lem1  19741  chfacfisf  19809  chfacfisfcpmat  19810  iscmet3lem3  22153  dyadmax  22433  mbfi1fseqlem3  22552  itgcnlem  22624  dvnff  22754  dvnp1  22756  dvn2bss  22761  cpncn  22767  dveflem  22808  ig1peu  22997  ig1pdvds  23002  ply1termlem  23025  plyeq0lem  23032  plyaddlem1  23035  plymullem1  23036  coeeulem  23046  dgrcl  23055  dgrub  23056  dgrlb  23058  coeid3  23062  plyco  23063  coeeq2  23064  coefv0  23070  coemulhi  23076  coemulc  23077  dvply1  23105  vieta1lem2  23132  vieta1  23133  elqaalem2  23141  elqaalem3  23142  geolim3  23160  dvntaylp  23191  taylthlem1  23193  radcnvlem1  23233  radcnvlem2  23234  radcnvlem3  23235  radcnv0  23236  radcnvlt2  23239  dvradcnv  23241  pserulm  23242  psercn2  23243  pserdvlem2  23248  pserdv2  23250  abelthlem4  23254  abelthlem5  23255  abelthlem6  23256  abelthlem7  23258  abelthlem8  23259  abelthlem9  23260  advlogexp  23465  logtayllem  23469  logtayl  23470  cxpeq  23562  leibpi  23733  leibpisum  23734  log2cnv  23735  log2tlbnd  23736  log2ublem2  23738  birthdaylem3  23744  wilthlem2  23859  ftalem1  23862  ftalem5  23866  basellem2  23871  basellem3  23872  basellem5  23874  musum  23983  0sgmppw  23989  1sgmprm  23990  chtublem  24002  logexprlim  24016  lgseisenlem1  24140  lgsquadlem2  24146  dchrisumlem1  24190  dchrisumlem2  24191  dchrisum0flblem1  24209  ostth2lem3  24336  eupares  25548  eupap1  25549  eupath2lem3  25552  eupath2  25553  konigsberg  25560  oddpwdc  29013  eulerpartlemb  29027  sseqfn  29049  sseqf  29051  signsplypnf  29227  signstcl  29242  signstf  29243  signstfvn  29246  signstfvneq0  29249  subfacval2  29698  subfaclim  29699  cvmliftlem7  29802  fwddifnp1  30717  poimirlem3  31647  poimirlem4  31648  poimirlem18  31662  poimirlem21  31665  poimirlem22  31666  poimirlem25  31669  poimirlem26  31670  poimirlem27  31671  heiborlem4  31850  heiborlem6  31852  mapfzcons  35267  irrapxlem1  35376  ltrmynn0  35504  ltrmxnn0  35505  acongeq  35539  jm2.23  35557  jm2.26lem3  35562  dfrtrcl3  35964  radcnvrat  36300  bcc0  36326  dvradcnv2  36333  binomcxplemnn0  36335  binomcxplemrat  36336  binomcxplemradcnv  36338  binomcxplemnotnn0  36342  fzssnn0  37148  expfac  37310  dvnmptdivc  37382  dvnmul  37387  dvnprodlem3  37392  stoweidlem17  37446  stoweidlem34  37464  stirlinglem5  37509  stirlinglem7  37511  fourierdlem15  37553  fourierdlem25  37563  fourierdlem48  37586  fourierdlem49  37587  fourierdlem50  37588  fourierdlem52  37590  fourierdlem54  37592  fourierdlem64  37602  fourierdlem65  37603  fourierdlem81  37619  fourierdlem92  37630  fourierdlem102  37640  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642  fourierdlem113  37651  fourierdlem114  37652  elaa2lem  37665  etransclem4  37670  etransclem10  37676  etransclem14  37680  etransclem15  37681  etransclem23  37689  etransclem24  37690  etransclem31  37697  etransclem32  37698  etransclem35  37701  etransclem44  37710  etransclem46  37712  etransclem48  37714  ssnn0ssfz  38890  aacllem  39301
  Copyright terms: Public domain W3C validator