Theorem nn0uz 11221

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 10994	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 10976	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 11189	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2486	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1454   e. wcel 1897   {crab 2752   class class class wbr 4415   ` cfv 5600   0cc0 9564   <_ cle 9701   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188

This theorem is referenced by:  elnn0uz  11224  2eluzge0  11231  eluznn0  11256  nn0inf  11269  nn0infmOLD  11271  fseq1p1m1  11896  fznn0sub2  11926  nn0split  11935  prednn0  11943  fzossnn0  11979  fzennn  12212  hashgf1o  12215  exple1  12363  faclbnd4lem1  12509  bcval5  12534  bcpasc  12537  hashfzo0  12634  hashf1  12652  ccatval2  12758  ccatass  12767  ccatrn  12768  swrdccat1  12849  swrdccat2  12850  wrdeqs1cat  12867  cats1un  12868  splfv2a  12899  splval2  12900  revccat  12907  cats1fv  12991  binom1dif  13939  isumnn0nn  13948  climcndslem1  13955  climcnds  13957  harmonic  13965  arisum2  13967  explecnv  13971  geoser  13973  geolim  13974  geolim2  13975  geomulcvg  13980  geoisum  13981  geoisumr  13982  mertenslem1  13988  mertenslem2  13989  mertens  13990  fallfacfwd  14137  0fallfac  14138  binomfallfaclem2  14141  bpolylem  14149  bpolysum  14154  bpolydiflem  14155  fsumkthpow  14157  bpoly2  14158  bpoly3  14159  bpoly4  14160  efcllem  14180  ef0lem  14181  eff  14184  efcvg  14187  efcvgfsum  14188  reefcl  14189  ege2le3  14192  efcj  14194  eftlcvg  14208  eftlub  14211  effsumlt  14213  ef4p  14215  efgt1p2  14216  efgt1p  14217  eflegeo  14223  eirrlem  14304  ruclem6  14335  ruclem7  14336  divalglem2  14421  divalglem2OLD  14422  divalglem5OLD  14424  divalglem5  14425  bitsfzolem  14455  bitsfzolemOLD  14456  bitsfzo  14457  bitsfi  14459  bitsinv1lem  14463  bitsinv1  14464  bitsinvp1  14471  sadcf  14475  sadcp1  14477  sadadd  14489  sadass  14493  bitsres  14495  smupf  14500  smupp1  14502  smuval2  14504  smupval  14510  smueqlem  14512  smumul  14515  alginv  14582  algcvg  14583  algcvga  14586  algfx  14587  eucalgcvga  14593  eucalg  14594  phiprmpw  14772  prmdiv  14781  iserodd  14833  pcfac  14892  prmreclem2  14909  prmreclem4  14911  vdwapun  14972  vdwlem1  14979  ramcl2lem  15010  ramcl2lemOLD  15011  ramtcl  15012  ramtclOLD  15013  ramtub  15016  ramtubOLD  15017  gsumwsubmcl  16670  gsumws1  16671  gsumccat  16673  gsumwmhm  16677  psgnunilem2  17184  psgnunilem4  17186  sylow1lem1  17298  efginvrel2  17425  efgredleme  17441  efgredlemc  17443  efgcpbllemb  17453  frgpuplem  17470  nn0gsumfz  17661  telgsumfz0s  17669  telgsums  17671  pgpfaclem1  17762  psrbaglefi  18644  ltbwe  18744  pmatcollpw3fi  19857  pmatcollpw3fi1lem1  19858  chfacfisf  19926  chfacfisfcpmat  19927  iscmet3lem3  22308  dyadmax  22604  mbfi1fseqlem3  22723  itgcnlem  22795  dvnff  22925  dvnp1  22927  dvn2bss  22932  cpncn  22938  dveflem  22979  ig1peu  23170  ig1peuOLD  23171  ig1pdvds  23176  ig1pdvdsOLD  23182  ply1termlem  23205  plyeq0lem  23212  plyaddlem1  23215  plymullem1  23216  coeeulem  23226  dgrcl  23235  dgrub  23236  dgrlb  23238  coeid3  23242  plyco  23243  coeeq2  23244  coefv0  23250  coemulhi  23256  coemulc  23257  dvply1  23285  vieta1lem2  23312  vieta1  23313  elqaalem2  23321  elqaalem3  23322  elqaalem2OLD  23324  elqaalem3OLD  23325  geolim3  23343  dvntaylp  23374  taylthlem1  23376  radcnvlem1  23416  radcnvlem2  23417  radcnvlem3  23418  radcnv0  23419  radcnvlt2  23422  dvradcnv  23424  pserulm  23425  psercn2  23426  pserdvlem2  23431  pserdv2  23433  abelthlem4  23437  abelthlem5  23438  abelthlem6  23439  abelthlem7  23441  abelthlem8  23442  abelthlem9  23443  advlogexp  23648  logtayllem  23652  logtayl  23653  cxpeq  23745  leibpi  23916  leibpisum  23917  log2cnv  23918  log2tlbnd  23919  log2ublem2  23921  birthdaylem3  23927  wilthlem2  24042  ftalem1  24045  ftalem5  24049  ftalem5OLD  24051  basellem2  24056  basellem3  24057  basellem5  24059  musum  24168  0sgmppw  24174  1sgmprm  24175  chtublem  24187  logexprlim  24201  lgseisenlem1  24325  lgsquadlem2  24331  dchrisumlem1  24375  dchrisumlem2  24376  dchrisum0flblem1  24394  ostth2lem3  24521  tgcgr4  24624  eupares  25751  eupap1  25752  eupath2lem3  25755  eupath2  25756  konigsberg  25763  oddpwdc  29235  eulerpartlemb  29249  sseqfn  29271  sseqf  29273  signsplypnf  29487  signstcl  29502  signstf  29503  signstfvn  29506  signstfvneq0  29509  subfacval2  29958  subfaclim  29959  cvmliftlem7  30062  fwddifnp1  30980  poimirlem3  31987  poimirlem4  31988  poimirlem18  32002  poimirlem21  32005  poimirlem22  32006  poimirlem25  32009  poimirlem26  32010  poimirlem27  32011  heiborlem4  32190  heiborlem6  32192  mapfzcons  35602  irrapxlem1  35710  ltrmynn0  35842  ltrmxnn0  35843  acongeq  35877  jm2.23  35895  jm2.26lem3  35900  dfrtrcl3  36369  radcnvrat  36706  bcc0  36732  dvradcnv2  36739  binomcxplemnn0  36741  binomcxplemrat  36742  binomcxplemradcnv  36744  binomcxplemnotnn0  36748  fzssnn0  37576  expfac  37775  dvnmptdivc  37850  dvnmul  37855  dvnprodlem3  37860  stoweidlem17  37914  stoweidlem34  37932  stirlinglem5  37977  stirlinglem7  37979  fourierdlem15  38021  fourierdlem25  38031  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem50  38057  fourierdlem52  38059  fourierdlem54  38061  fourierdlem64  38071  fourierdlem65  38072  fourierdlem81  38088  fourierdlem92  38099  fourierdlem102  38109  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem113  38120  fourierdlem114  38121  elaa2lem  38134  elaa2lemOLD  38135  etransclem4  38140  etransclem10  38146  etransclem14  38150  etransclem15  38151  etransclem23  38159  etransclem24  38160  etransclem31  38167  etransclem32  38168  etransclem35  38171  etransclem44  38180  etransclem46  38182  etransclem48OLD  38184  etransclem48  38185  ssnn0ssfz  40402  aacllem  40812