MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0uz Structured version   Unicode version

Theorem nn0uz 11105
Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0uz  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )

Proof of Theorem nn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0zrab 10882 . 2  |-  NN0  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k }
2 0z 10864 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 uzval 11073 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  0 )  =  { k  e.  ZZ  |  0  <_  k } )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
0  <_  k }
51, 4eqtr4i 2492 1  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   0cc0 9481    <_ cle 9618   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  elnn0uz  11108  eluznn0  11140  nn0infm  11152  fseq1p1m1  11741  fznn0sub2  11768  nn0split  11776  fzossnn0  11813  fzennn  12034  hashgf1o  12037  exple1  12180  faclbnd4lem1  12326  bcn0  12343  bcn1  12346  bcval5  12351  bcpasc  12354  hashfzo0  12440  hashf1  12459  ccatval2  12548  ccatass  12557  swrdid  12602  swrdccat1  12632  swrdccat2  12633  wrdeqcats1  12649  wrdeqs1cat  12650  cats1un  12651  splfv2a  12682  splval2  12683  revccat  12690  cats1fv  12774  binom1dif  13597  isumnn0nn  13606  climcndslem1  13613  climcnds  13615  harmonic  13622  arisum2  13624  explecnv  13628  geoser  13630  geolim  13631  geolim2  13632  geomulcvg  13637  geoisum  13638  geoisumr  13639  mertenslem1  13645  mertenslem2  13646  mertens  13647  efcllem  13664  ef0lem  13665  eff  13668  efcvg  13671  efcvgfsum  13672  reefcl  13673  ege2le3  13676  efcj  13678  eftlcvg  13691  eftlub  13694  effsumlt  13696  ef4p  13698  efgt1p2  13699  efgt1p  13700  eflegeo  13706  eirrlem  13787  ruclem6  13818  ruclem7  13819  divalglem2  13901  divalglem5  13903  bitsfzolem  13932  bitsfzo  13933  bitsfi  13935  bitsinv1lem  13939  bitsinv1  13940  bitsinvp1  13947  sadcf  13951  sadcp1  13953  sadadd  13965  sadass  13969  bitsres  13971  smupf  13976  smupp1  13978  smuval2  13980  smupval  13986  smueqlem  13988  smumul  13991  alginv  14052  algcvg  14053  algcvga  14056  algfx  14057  eucalgcvga  14063  eucalg  14064  dfphi2  14152  phiprmpw  14154  prmdiv  14163  iserodd  14207  pcfac  14266  prmreclem2  14283  prmreclem4  14285  vdwapun  14340  vdwlem1  14347  ramcl2lem  14375  ramtcl  14376  ramtub  14378  gsumwsubmcl  15822  gsumws1  15823  gsumccat  15825  gsumwmhm  15829  psgnunilem2  16309  psgnunilem4  16311  sylow1lem1  16407  efginvrel2  16534  efgsp1  16544  efgsres  16545  efgredleme  16550  efgredlemd  16551  efgredlemc  16552  efgredlem  16554  efgcpbllemb  16562  frgpuplem  16579  nn0gsumfz  16796  telgsumfz0s  16804  telgsums  16806  pgpfaclem1  16915  psrbaglefi  17787  psrbaglefiOLD  17788  ltbwe  17901  pmatcollpw3fi  19046  pmatcollpw3fi1lem1  19047  chfacfisf  19115  chfacfisfcpmat  19116  iscmet3lem3  21457  dyadmax  21735  mbfi1fseqlem3  21852  iblcnlem1  21922  itgcnlem  21924  dvnff  22054  dvnp1  22056  dvn2bss  22061  cpncn  22067  dveflem  22108  c1lip2  22127  ig1peu  22300  ig1pdvds  22305  ply1termlem  22328  plyeq0lem  22335  plyaddlem1  22338  plymullem1  22339  coeeulem  22349  dgrcl  22358  dgrub  22359  dgrlb  22361  coeid3  22365  plyco  22366  coeeq2  22367  coefv0  22372  coemulhi  22378  coemulc  22379  dvply1  22407  vieta1lem2  22434  vieta1  22435  elqaalem2  22443  elqaalem3  22444  geolim3  22462  dvtaylp  22492  dvntaylp  22493  taylthlem1  22495  taylthlem2  22496  radcnvlem1  22535  radcnvlem2  22536  radcnvlem3  22537  radcnv0  22538  radcnvlt2  22541  dvradcnv  22543  pserulm  22544  psercn2  22545  pserdvlem2  22550  pserdv2  22552  abelthlem4  22556  abelthlem5  22557  abelthlem6  22558  abelthlem7  22560  abelthlem8  22561  abelthlem9  22562  advlogexp  22757  logtayllem  22761  logtayl  22762  cxpeq  22852  leibpilem2  22993  leibpi  22994  leibpisum  22995  log2cnv  22996  log2tlbnd  22997  log2ublem2  22999  birthdaylem3  23004  wilthlem2  23064  ftalem1  23067  ftalem5  23071  basellem2  23076  basellem3  23077  basellem5  23079  musum  23188  0sgmppw  23194  1sgmprm  23195  chtublem  23207  logexprlim  23221  lgseisenlem1  23345  lgsquadlem2  23351  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem2  23396  dchrisum0flblem1  23414  ostth2lem3  23541  eupares  24637  eupap1  24638  eupath2lem3  24641  eupath2  24642  konigsberg  24649  oddpwdc  27783  eulerpartlemb  27797  sseqfn  27819  sseqf  27821  ballotlemfrci  27956  ballotlemfrceq  27957  signsplypnf  27997  signstcl  28012  signstf  28013  signstfvn  28016  signstfvneq0  28019  signsvfn  28029  subfacval2  28121  subfaclim  28122  cvmliftlem7  28226  relexpsucr  28378  fallfacfwd  28585  0fallfac  28586  binomfallfaclem2  28589  prednn0  28709  bpolylem  29237  bpolysum  29242  bpolydiflem  29243  fsumkthpow  29245  bpoly2  29246  bpoly3  29247  bpoly4  29248  heiborlem4  29764  heiborlem6  29766  mapfzcons  30103  irrapxlem1  30213  ltrmynn0  30341  ltrmxnn0  30342  acongeq  30376  jm2.23  30395  jm2.26lem3  30400  stoweidlem17  31136  stoweidlem34  31153  stirlinglem5  31197  stirlinglem7  31199  fourierdlem15  31241  fourierdlem25  31251  fourierdlem48  31274  fourierdlem49  31275  fourierdlem50  31276  fourierdlem52  31278  fourierdlem54  31280  fourierdlem64  31290  fourierdlem65  31291  fourierdlem81  31307  fourierdlem92  31318  fourierdlem102  31328  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330  fourierdlem113  31339  fourierdlem114  31340  ssnn0ssfz  31877
  Copyright terms: Public domain W3C validator