Theorem nn0uz 10476

Description: Nonnegative integers expressed as a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 10266	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 10249	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 10446	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 8	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2427	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   0cc0 8946   <_ cle 9077   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444

This theorem is referenced by:  elnn0uz  10479  eluznn0  10502  nn0infm  10513  fznn0sub2  11042  fseq1p1m1  11077  fzennn  11262  hashgf1o  11265  exple1  11394  faclbnd4lem1  11539  bcn0  11556  bcn1  11559  bcval5  11564  bcpasc  11567  hashfzo0  11650  hashf1  11661  ccatval2  11701  ccatass  11705  swrdid  11727  swrdccat1  11729  swrdccat2  11730  splfv2a  11740  splval2  11741  wrdeqcats1  11743  wrdeqs1cat  11744  cats1un  11745  revccat  11753  cats1fv  11778  binom1dif  12567  isumnn0nn  12577  climcndslem1  12584  climcnds  12586  harmonic  12593  arisum2  12595  explecnv  12599  geoser  12601  geolim  12602  geolim2  12603  geomulcvg  12608  geoisum  12609  geoisumr  12610  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  mertens  12618  efcllem  12635  ef0lem  12636  eff  12639  efcvg  12642  efcvgfsum  12643  reefcl  12644  ege2le3  12647  efcj  12649  eftlcvg  12662  eftlub  12665  effsumlt  12667  ef4p  12669  efgt1p2  12670  efgt1p  12671  eflegeo  12677  eirrlem  12758  ruclem6  12789  ruclem7  12790  divalglem2  12870  divalglem5  12872  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsfi  12904  bitsinv1lem  12908  bitsinv1  12909  bitsinvp1  12916  sadcf  12920  sadcp1  12922  sadadd  12934  sadass  12938  bitsres  12940  smupf  12945  smupp1  12947  smuval2  12949  smupval  12955  smueqlem  12957  smumul  12960  alginv  13021  algcvg  13022  algcvga  13025  algfx  13026  eucalgcvga  13032  eucalg  13033  dfphi2  13118  phiprmpw  13120  prmdiv  13129  iserodd  13164  pcfac  13223  prmreclem2  13240  prmreclem4  13242  vdwapun  13297  vdwlem1  13304  ramcl2lem  13332  ramtcl  13333  ramtub  13335  gsumwsubmcl  14739  gsumws1  14740  gsumccat  14742  gsumwmhm  14745  sylow1lem1  15187  efginvrel2  15314  efgsp1  15324  efgsres  15325  efgredleme  15330  efgredlemd  15331  efgredlemc  15332  efgredlem  15334  efgcpbllemb  15342  frgpuplem  15359  pgpfaclem1  15594  psrbaglefi  16392  ltbwe  16488  iscmet3lem3  19196  dyadmax  19443  mbfi1fseqlem3  19562  iblcnlem1  19632  itgcnlem  19634  dvnff  19762  dvnp1  19764  dvn2bss  19769  cpncn  19775  dveflem  19816  c1lip2  19835  ig1peu  20047  ig1pdvds  20052  ply1termlem  20075  plyeq0lem  20082  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  dgrcl  20105  dgrub  20106  dgrlb  20108  coeid3  20112  plyco  20113  coeeq2  20114  coefv0  20119  coemulhi  20125  coemulc  20126  dvply1  20154  vieta1lem2  20181  vieta1  20182  elqaalem2  20190  elqaalem3  20191  geolim3  20209  dvtaylp  20239  dvntaylp  20240  taylthlem1  20242  taylthlem2  20243  radcnvlem1  20282  radcnvlem2  20283  radcnvlem3  20284  radcnv0  20285  radcnvlt2  20288  dvradcnv  20290  pserulm  20291  psercn2  20292  pserdvlem2  20297  pserdv2  20299  abelthlem4  20303  abelthlem5  20304  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  abelthlem9  20309  advlogexp  20499  logtayllem  20503  logtayl  20504  cxpeq  20594  leibpilem2  20734  leibpi  20735  leibpisum  20736  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  log2ublem2  20740  birthdaylem3  20745  wilthlem2  20805  ftalem1  20808  ftalem5  20812  basellem2  20817  basellem3  20818  basellem5  20820  musum  20929  0sgmppw  20935  1sgmprm  20936  chtublem  20948  logexprlim  20962  lgseisenlem1  21086  lgsquadlem2  21092  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem2  21137  dchrisum0flblem1  21155  ostth2lem3  21282  eupares  21650  eupap1  21651  eupath2lem3  21654  eupath2  21655  konigsberg  21662  ballotlemfrci  24738  ballotlemfrceq  24739  subfacval2  24826  subfaclim  24827  cvmliftlem7  24931  relexpsucr  25083  fallfacfwd  25303  0fallfac  25304  binomfallfaclem2  25307  prednn0  25416  bpolylem  25998  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  bpoly2  26007  bpoly3  26008  bpoly4  26009  heiborlem4  26413  heiborlem6  26415  mapfzcons  26662  irrapxlem1  26775  ltrmynn0  26903  ltrmxnn0  26904  acongeq  26938  jm2.23  26957  jm2.26lem3  26962  psgnunilem2  27286  psgnunilem4  27288  stoweidlem17  27633  stoweidlem34  27650  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445