Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | peano2cn 10087 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈
ℂ) |
2 | | nnnn0 11176 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℕ0) |
3 | | fallfacval 14579 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 + 1) FallFac
𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 493 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
5 | | 0p1e1 11009 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0 + 1) =
1 |
6 | 5 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0 +
1)...(𝑁 − 1)) =
(1...(𝑁 −
1)) |
7 | 6 | prodeq1i 14487 |
. . . . . . 7
⊢
∏𝑘 ∈ ((0
+ 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) |
8 | 7 | oveq2i 6560 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 − -1) ·
∏𝑘 ∈ ((0 +
1)...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) = ((𝐴 − -1) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) |
9 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
10 | 9 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
11 | | nn0uz 11598 |
. . . . . . . 8
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
12 | 10, 11 | syl6eleq 2698 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
13 | | simpll 786 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
14 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
15 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
16 | | peano2zm 11297 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈
ℤ) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ) |
18 | 17 | zcnd 11359 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ) |
19 | 13, 18 | subcld 10271 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
20 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1)) |
21 | | df-neg 10148 |
. . . . . . . . 9
⊢ -1 = (0
− 1) |
22 | 20, 21 | syl6eqr 2662 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1) |
23 | 22 | oveq2d 6565 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 − (𝑘 − 1)) = (𝐴 − -1)) |
24 | 12, 19, 23 | fprod1p 14537 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ((𝐴 − -1) · ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))) |
25 | | fallfacval2 14581 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) |
26 | 9, 25 | sylan2 490 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1))) |
27 | 26 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − -1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = ((𝐴 − -1) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))) |
28 | 8, 24, 27 | 3eqtr4a 2670 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ((𝐴 − -1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
29 | | elfznn0 12302 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
30 | 29 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
31 | 30 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ) |
32 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈
ℂ) |
33 | 13, 31, 32 | subsub3d 10301 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − (𝑘 − 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
34 | 33 | prodeq2dv 14492 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘)) |
35 | | simpl 472 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
36 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
37 | 35, 36 | subnegd 10278 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1)) |
38 | 37 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − -1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
39 | 28, 34, 38 | 3eqtr3d 2652 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴 + 1) − 𝑘) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
40 | 4, 39 | eqtrd 2644 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
41 | | simpr 476 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℕ) |
42 | 41 | nncnd 10913 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
43 | 42, 36 | npcand 10275 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
44 | 43 | oveq2d 6565 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴 FallFac 𝑁)) |
45 | | fallfacp1 14600 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) |
46 | 9, 45 | sylan2 490 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac ((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) |
47 | 44, 46 | eqtr3d 2646 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) |
48 | 40, 47 | oveq12d 6567 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) − (𝐴 FallFac 𝑁)) = (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1))))) |
49 | | fallfaccl 14586 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
50 | 9, 49 | sylan2 490 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
51 | 10 | nn0cnd 11230 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈
ℂ) |
52 | 35, 51 | subcld 10271 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
53 | 50, 52 | mulcomd 9940 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1))) = ((𝐴 − (𝑁 − 1)) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
54 | 53 | oveq2d 6565 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) = (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 − (𝑁 − 1)) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))))) |
55 | 1 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈
ℂ) |
56 | 55, 52, 50 | subdird 10366 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 − (𝑁 − 1)) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))))) |
57 | 35, 36, 51 | pnncand 10310 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) = (1 + (𝑁 − 1))) |
58 | 36, 42 | pncan3d 10274 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 +
(𝑁 − 1)) = 𝑁) |
59 | 57, 58 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) = 𝑁) |
60 | 59 | oveq1d 6564 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) − (𝐴 − (𝑁 − 1))) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) = (𝑁 · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
61 | 54, 56, 60 | 3eqtr2d 2650 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1))) − ((𝐴 FallFac (𝑁 − 1)) · (𝐴 − (𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |
62 | 48, 61 | eqtrd 2644 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) FallFac 𝑁) − (𝐴 FallFac 𝑁)) = (𝑁 · (𝐴 FallFac (𝑁 − 1)))) |