Theorem tnglem 22254

Description: Lemma for tngbas 22255 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4	⊢ 𝐾 < 9

Assertion

Ref	Expression
tnglem	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Proof of Theorem tnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
5	1, 2, 3, 4	tngval 22253	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6	5	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
7		tnglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
8		tnglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
9	7, 8	ndxid 15716	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
10	7, 8	ndxarg 15715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
11	8	nnrei 10906	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12	10, 11	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13		tnglem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 < 9
14	10, 13	eqbrtri 4604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) < 9
15		1nn 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		2nn0 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		9nn0 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
18		9lt10 11549	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 < ;10
19	15, 16, 17, 18	declti 11422	. . . . . . . 8 ⊢ 9 < ;12
20		9re 10984	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
21		1nn0 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21, 16	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ∈ ℝ
24	12, 20, 23	lttri 10042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < ;12) → (𝐸‘ndx) < ;12)
25	14, 19, 24	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < ;12
26	12, 25	ltneii 10029	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ;12
27		dsndx 15885	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
28	26, 27	neeqtrri 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
29	9, 28	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩))
30	12, 14	ltneii 10029	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 9
31		tsetndx 15863	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
32	30, 31	neeqtrri 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
33	9, 32	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
34	29, 33	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
35	6, 34	syl6reqr 2663	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
36	7	str0 15739	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
37		fvprc 6097	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = ∅)
39		reldmtng 22252	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
40	39	ovprc1 6582	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ∅)
43	42	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘∅))
44	36, 38, 43	3eqtr4a 2670	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))
45	35, 44	pm2.61ian 827	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  2c2 10947  9c9 10954  ;cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  TopSetcts 15774  distcds 15777  -_gcsg 17247  MetOpencmopn 19557   toNrmGrp ctng 22193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ds 15791  df-tng 22199

This theorem is referenced by:  tngbas  22255  tngplusg  22256  tngmulr  22258  tngsca  22259  tngvsca  22260  tngip  22261