Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglem 22254
 Description: Lemma for tngbas 22255 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tnglem.2 𝐸 = Slot 𝐾
tnglem.3 𝐾 ∈ ℕ
tnglem.4 𝐾 < 9
Assertion
Ref Expression
tnglem (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 eqid 2610 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3 eqid 2610 . . . . 5 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
4 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
51, 2, 3, 4tngval 22253 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
65fveq2d 6107 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
7 tnglem.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝐾
8 tnglem.3 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℕ
97, 8ndxid 15716 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
107, 8ndxarg 15715 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝐾
118nnrei 10906 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℝ
1210, 11eqeltri 2684 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9 𝐾 < 9
1410, 13eqbrtri 4604 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) < 9
15 1nn 10908 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
16 2nn0 11186 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
17 9nn0 11193 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
18 9lt10 11549 . . . . . . . . 9 9 < 10
1915, 16, 17, 18declti 11422 . . . . . . . 8 9 < 12
20 9re 10984 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
21 1nn0 11185 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2221, 16deccl 11388 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
2322nn0rei 11180 . . . . . . . . 9 12 ∈ ℝ
2412, 20, 23lttri 10042 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 9 ∧ 9 < 12) → (𝐸‘ndx) < 12)
2514, 19, 24mp2an 704 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 12
2612, 25ltneii 10029 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 12
27 dsndx 15885 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
2826, 27neeqtrri 2855 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
299, 28setsnid 15743 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩))
3012, 14ltneii 10029 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 9
31 tsetndx 15863 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
3230, 31neeqtrri 2855 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
339, 32setsnid 15743 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
3429, 33eqtri 2632 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
356, 34syl6reqr 2663 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
367str0 15739 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
37 fvprc 6097 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
3837adantr 480 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = ∅)
39 reldmtng 22252 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
4039ovprc1 6582 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
4140adantr 480 . . . . 5 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
421, 41syl5eq 2656 . . . 4 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ∅)
4342fveq2d 6107 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝑇) = (𝐸‘∅))
4436, 38, 433eqtr4a 2670 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
4535, 44pm2.61ian 827 1 (𝑁𝑉 → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  2c2 10947  9c9 10954  ;cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  TopSetcts 15774  distcds 15777  -gcsg 17247  MetOpencmopn 19557   toNrmGrp ctng 22193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ds 15791  df-tng 22199 This theorem is referenced by:  tngbas  22255  tngplusg  22256  tngmulr  22258  tngsca  22259  tngvsca  22260  tngip  22261
 Copyright terms: Public domain W3C validator