Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmsds 22091
 Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
Assertion
Ref Expression
setsmsds (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsds
StepHypRef Expression
1 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
21fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
3 dsid 15886 . . 3 dist = Slot (dist‘ndx)
4 9re 10984 . . . . 5 9 ∈ ℝ
5 1nn 10908 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
6 2nn0 11186 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
7 9nn0 11193 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
8 9lt10 11549 . . . . . 6 9 < 10
95, 6, 7, 8declti 11422 . . . . 5 9 < 12
104, 9gtneii 10028 . . . 4 12 ≠ 9
11 dsndx 15885 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
12 tsetndx 15863 . . . . 5 (TopSet‘ndx) = 9
1311, 12neeq12i 2848 . . . 4 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
1410, 13mpbir 220 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
153, 14setsnid 15743 . 2 (dist‘𝑀) = (dist‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
162, 15syl6reqr 2663 1 (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ≠ wne 2780  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  2c2 10947  9c9 10954  ;cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  TopSetcts 15774  distcds 15777  MetOpencmopn 19557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ds 15791 This theorem is referenced by:  setsxms  22094  setsms  22095  tmslem  22097
 Copyright terms: Public domain W3C validator