Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmplef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgraexmplef 25929
 Description: Lemma for usgraexmpl 25930. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v 𝑉 = (0...4)
usgraexmpl.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
Assertion
Ref Expression
usgraexmplef 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉

Proof of Theorem usgraexmplef
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraexmpldifpr 25928 . . 3 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
2 usgraexmpl.e . . 3 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3 prex 4836 . . . 4 {0, 1} ∈ V
4 prex 4836 . . . 4 {1, 2} ∈ V
5 prex 4836 . . . 4 {2, 0} ∈ V
6 prex 4836 . . . 4 {0, 3} ∈ V
7 s4f1o 13513 . . . 4 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
83, 4, 5, 6, 7mp4an 705 . . 3 ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
91, 2, 8mp2 9 . 2 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
10 f1of1 6049 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
11 id 22 . . . . . . 7 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
12 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑝 ∈ V
1312elpr 4146 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ↔ (𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}))
14 usgraexmpl.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (0...4)
1514usgraex0elv 25924 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ 𝑉
1614usgraex1elv 25925 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ 𝑉
17 prelpwi 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉)
18 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉))
1917, 18syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
2015, 16, 19mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
21 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 1} → (#‘𝑝) = (#‘{0, 1}))
22 prhash2ex 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{0, 1}) = 2
2321, 22syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 1} → (#‘𝑝) = 2)
2420, 23jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
2514usgraex2elv 25926 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ 𝑉
26 prelpwi 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉)
27 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉))
2826, 27syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
2916, 25, 28mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
30 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {1, 2} → (#‘𝑝) = (#‘{1, 2}))
31 1ne2 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
32 1nn 10908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
33 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
34 hashprgOLD 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 ≠ 2 ↔ (#‘{1, 2}) = 2))
3532, 33, 34mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 ↔ (#‘{1, 2}) = 2)
3631, 35mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{1, 2}) = 2
3730, 36syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {1, 2} → (#‘𝑝) = 2)
3829, 37jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
3924, 38jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
4013, 39sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
4112elpr 4146 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} ↔ (𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}))
42 prelpwi 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉)
43 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉))
4442, 43syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
4525, 15, 44mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
46 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {2, 0} → (#‘𝑝) = (#‘{2, 0}))
47 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
48 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
49 0z 11265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
50 hashprgOLD 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 ≠ 0 ↔ (#‘{2, 0}) = 2))
5148, 49, 50mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≠ 0 ↔ (#‘{2, 0}) = 2)
5247, 51mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{2, 0}) = 2
5346, 52syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {2, 0} → (#‘𝑝) = 2)
5445, 53jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
5514usgraex3elv 25927 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ 𝑉
56 prelpwi 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉)
57 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉))
5856, 57syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
5915, 55, 58mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
60 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {0, 3} → (#‘𝑝) = (#‘{0, 3}))
61 3ne0 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ≠ 0
6261necomi 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≠ 3
63 3z 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
64 hashprgOLD 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0 ≠ 3 ↔ (#‘{0, 3}) = 2))
6549, 63, 64mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≠ 3 ↔ (#‘{0, 3}) = 2)
6662, 65mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{0, 3}) = 2
6760, 66syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {0, 3} → (#‘𝑝) = 2)
6859, 67jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
6954, 68jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
7041, 69sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
7140, 70jaoi 393 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
72 elun 3715 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}))
73 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑝 → (#‘𝑒) = (#‘𝑝))
7473eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘𝑝) = 2))
7574elrab 3331 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
7671, 72, 753imtr4i 280 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
7776ssriv 3572 . . . . . . 7 ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
7811, 77syl6ss 3580 . . . . . 6 (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
7978anim2i 591 . . . . 5 ((𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})) → (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}))
80 df-f 5808 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
81 df-f 5808 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}))
8279, 80, 813imtr4i 280 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
8382anim1i 590 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
84 dff12 6013 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
85 dff12 6013 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
8683, 84, 853imtr4i 280 . 2 (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
879, 10, 86mp2b 10 1 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃*wmo 2459   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979  ⟨“cs4 13439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446 This theorem is referenced by:  usgraexmpl  25930  usgrexmpl  40487
 Copyright terms: Public domain W3C validator