Theorem usgraexmplef 25929

Description: Lemma for usgraexmpl 25930. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgraexmpl.v	⊢ 𝑉 = (0...4)
usgraexmpl.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩

Assertion

Ref	Expression
usgraexmplef	⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉

Proof of Theorem usgraexmplef

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgraexmpldifpr 25928	. . 3 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
2		usgraexmpl.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3		prex 4836	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ V
4		prex 4836	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ V
5		prex 4836	. . . 4 ⊢ {2, 0} ∈ V
6		prex 4836	. . . 4 ⊢ {0, 3} ∈ V
7		s4f1o 13513	. . . 4 ⊢ ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 705	. . 3 ⊢ ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
9	1, 2, 8	mp2 9	. 2 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
10		f1of1 6049	. 2 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
12		vex 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑝 ∈ V
13	12	elpr 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ↔ (𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}))
14		usgraexmpl.v	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑉 = (0...4)
15	14	usgraex0elv 25924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ 𝑉
16	14	usgraex1elv 25925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ 𝑉
17		prelpwi 4842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉)
18		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 𝑉))
19	17, 18	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
20	15, 16, 19	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {0, 1} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
21		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {0, 1} → (#‘𝑝) = (#‘{0, 1}))
22		prhash2ex 13048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘{0, 1}) = 2
23	21, 22	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {0, 1} → (#‘𝑝) = 2)
24	20, 23	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {0, 1} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
25	14	usgraex2elv 25926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ 𝑉
26		prelpwi 4842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉)
27		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {1, 2} ∈ 𝒫 𝑉))
28	26, 27	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
29	16, 25, 28	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {1, 2} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
30		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {1, 2} → (#‘𝑝) = (#‘{1, 2}))
31		1ne2 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
32		1nn 10908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ
33		2nn 11062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
34		hashprgOLD 13044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 ≠ 2 ↔ (#‘{1, 2}) = 2))
35	32, 33, 34	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ (#‘{1, 2}) = 2)
36	31, 35	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘{1, 2}) = 2
37	30, 36	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {1, 2} → (#‘𝑝) = 2)
38	29, 37	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
39	24, 38	jaoi 393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = {0, 1} ∨ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
40	13, 39	sylbi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
41	12	elpr 4146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} ↔ (𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}))
42		prelpwi 4842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉)
43		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {2, 0} ∈ 𝒫 𝑉))
44	42, 43	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
45	25, 15, 44	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {2, 0} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
46		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {2, 0} → (#‘𝑝) = (#‘{2, 0}))
47		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
48		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
49		0z 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℤ
50		hashprgOLD 13044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 ≠ 0 ↔ (#‘{2, 0}) = 2))
51	48, 49, 50	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≠ 0 ↔ (#‘{2, 0}) = 2)
52	47, 51	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘{2, 0}) = 2
53	46, 52	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {2, 0} → (#‘𝑝) = 2)
54	45, 53	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {2, 0} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
55	14	usgraex3elv 25927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ 𝑉
56		prelpwi 4842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉)
57		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {0, 3} ∈ 𝒫 𝑉))
58	56, 57	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ 𝑉) → (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉))
59	15, 55, 58	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {0, 3} → 𝑝 ∈ 𝒫 𝑉)
60		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {0, 3} → (#‘𝑝) = (#‘{0, 3}))
61		3ne0 10992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ≠ 0
62	61	necomi 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≠ 3
63		3z 11287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℤ
64		hashprgOLD 13044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0 ≠ 3 ↔ (#‘{0, 3}) = 2))
65	49, 63, 64	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ≠ 3 ↔ (#‘{0, 3}) = 2)
66	62, 65	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘{0, 3}) = 2
67	60, 66	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {0, 3} → (#‘𝑝) = 2)
68	59, 67	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {0, 3} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
69	54, 68	jaoi 393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = {2, 0} ∨ 𝑝 = {0, 3}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
70	41, 69	sylbi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}} → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
71	40, 70	jaoi 393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}) → (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
72		elun 3715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝑝 ∈ {{0, 1}, {1, 2}} ∨ 𝑝 ∈ {{2, 0}, {0, 3}}))
73		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (#‘𝑒) = (#‘𝑝))
74	73	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘𝑝) = 2))
75	74	elrab 3331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 2))
76	71, 72, 75	3imtr4i 280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
77	76	ssriv 3572	. . . . . . 7 ⊢ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
78	11, 77	syl6ss 3580	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
79	78	anim2i 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})) → (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}))
80		df-f 5808	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
81		df-f 5808	. . . . 5 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}))
82	79, 80, 81	3imtr4i 280	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
83	82	anim1i 590	. . 3 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
84		dff12 6013	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
85		dff12 6013	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2} ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦𝐸𝑥))
86	83, 84, 85	3imtr4i 280	. 2 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
87	9, 10, 86	mp2b 10	1 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃*wmo 2459   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979  ⟨“cs4 13439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446

This theorem is referenced by:  usgraexmpl  25930  usgrexmpl  40487