MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcpre1 15385
Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcpre1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1
StepHypRef Expression
1 1z 11284 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
2 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
31, 2mpbiri 247 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
5 neeq1 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 247 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
73, 6jca 553 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8 pclem.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
9 pclem.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
108, 9pcprecl 15382 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
117, 10sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
1211simprd 478 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑁)
13 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
1412, 13breqtrd 4609 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∥ 1)
15 eluz2nn 11602 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
1711simpld 474 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
1816, 17nnexpcld 12892 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
1918nnzd 11357 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
20 1nn 10908 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
21 dvdsle 14870 . . . . . 6 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑆) ∥ 1 → (𝑃𝑆) ≤ 1))
2219, 20, 21sylancl 693 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃𝑆) ∥ 1 → (𝑃𝑆) ≤ 1))
2314, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ≤ 1)
2416nncnd 10913 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
2524exp0d 12864 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
2623, 25breqtrrd 4611 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ≤ (𝑃↑0))
2716nnred 10912 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
2817nn0zd 11356 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℤ)
29 0zd 11266 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℤ)
30 eluz2b2 11637 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
3130simprbi 479 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
3231adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
3327, 28, 29, 32leexp2d 12901 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
3426, 33mpbird 246 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
3510simpld 474 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
367, 35sylan2 490 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
37 nn0le0eq0 11198 . . 3 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
3836, 37syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
3934, 38mpbid 221 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  {crab 2900   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cexp 12722  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822
This theorem is referenced by:  pczpre  15390  pc1  15398
  Copyright terms: Public domain W3C validator