Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 29357
 Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 11671 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 1z 11284 . . . 4 1 ∈ ℤ
31, 2sselii 3565 . . 3 1 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 29355 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
83, 7mpan2 703 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9 gcd1 15087 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 10596 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 10908 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
15 qnumdenbi 15290 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1416 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
1713, 16mpbi 219 . . . . . . 7 ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
1817simpli 473 . . . . . 6 (numer‘1) = 1
1918fveq2i 6106 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
2017simpri 477 . . . . . 6 (denom‘1) = 1
2120fveq2i 6106 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
2219, 21oveq12i 6561 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23 drngring 18577 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
256, 24zrh1 19680 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
2625, 25oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
284, 24ringidcl 18391 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
304, 5, 24dvr1 18512 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3123, 29, 30syl2anc 691 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3227, 31eqtrd 2644 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r𝑅))
3322, 32syl5eq 2656 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
3433adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
358, 34eqtrd 2644 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℚcq 11664   gcd cgcd 15054  numercnumer 15279  denomcdenom 15280  Basecbs 15695  1rcur 18324  Ringcrg 18370  /rcdvr 18505  DivRingcdr 18570  ℤRHomczrh 19667  chrcchr 19669  ℚHomcqqh 29344 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282  df-gz 15472  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-od 17771  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-chr 19673  df-qqh 29345 This theorem is referenced by:  qqhrhm  29361
 Copyright terms: Public domain W3C validator