Theorem qqh1 26534

Description: The image of 1 by the QQHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqh1	|- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( 1r ` R ) )

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 11047	. . . 4 |- ZZ C_ QQ
2		1z 10763	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3	1, 2	sselii 3437	. . 3 |- 1 e. QQ
4		qqhval2.0	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
5		qqhval2.1	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
6		qqhval2.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` R )
7	4, 5, 6	qqhvval 26532	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ 1 e. QQ ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 671	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) )
9		gcd1 13804	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 gcd 1 ) = 1 )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 gcd 1 ) = 1
11		1div1e1 10111	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
12	11	eqcomi 2462	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 1 / 1 )
13	10, 12	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 gcd 1 ) = 1 /\ 1 = ( 1 / 1 ) )
14		1nn 10420	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
15		qnumdenbi 13910	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. QQ /\ 1 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( ( 1 gcd 1 ) = 1 /\ 1 = ( 1 / 1 ) ) <-> ( (numer ` 1 ) = 1 /\ (denom ` 1 ) = 1 ) ) )
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 gcd 1 ) = 1 /\ 1 = ( 1 / 1 ) ) <-> ( (numer ` 1 ) = 1 /\ (denom ` 1 ) = 1 ) )
17	13, 16	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( (numer ` 1 ) = 1 /\ (denom ` 1 ) = 1 )
18	17	simpli 458	. . . . . 6 |- (numer ` 1 ) = 1
19	18	fveq2i 5778	. . . . 5 |- ( L ` (numer ` 1 ) ) = ( L ` 1 )
20	17	simpri 462	. . . . . 6 |- (denom ` 1 ) = 1
21	20	fveq2i 5778	. . . . 5 |- ( L ` (denom ` 1 ) ) = ( L ` 1 )
22	19, 21	oveq12i 6188	. . . 4 |- ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) = ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) )
23		drngrng 16931	. . . . . 6 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
24		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
25	6, 24	zrh1 18039	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` R ) )
26	25, 25	oveq12d 6194	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) ) = ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) )
27	23, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) ) = ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) )
28	4, 24	rngidcl 16757	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
29	23, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( R e. DivRing -> ( 1r ` R ) e. B )
30	4, 5, 24	dvr1 16873	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
31	23, 29, 30	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
32	27, 31	eqtrd 2490	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) ) = ( 1r ` R ) )
33	22, 32	syl5eq 2502	. . 3 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) = ( 1r ` R ) )
34	33	adantr 465	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) = ( 1r ` R ) )
35	8, 34	eqtrd 2490	1 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( 1r ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1757   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   0cc0 9369   1c1 9370   / cdiv 10080   NNcn 10409   ZZcz 10733   QQcq 11040   gcd cgcd 13778  numercnumer 13899  denomcdenom 13900   Basecbs 14262   1rcur 16694   Ringcrg 16737  /_rcdvr 16866   DivRingcdr 16924   ZRHomczrh 18026  chrcchr 18028  QQHomcqqh 26521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448  ax-mulf 9449

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-fz 11525  df-fl 11729  df-mod 11796  df-seq 11894  df-exp 11953  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-dvds 13624  df-gcd 13779  df-numer 13901  df-denom 13902  df-gz 14079  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-0g 14468  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-od 16122  df-cmn 16369  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-cring 16740  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-rnghom 16898  df-drng 16926  df-subrg 16955  df-cnfld 17914  df-zring 17979  df-zrh 18030  df-chr 18032  df-qqh 26522

This theorem is referenced by:  qqhrhm  26538