Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Unicode version

Theorem qqh1 26534
Description: The image of  1 by the QQHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqh1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  1
)  =  ( 1r
`  R ) )

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 11047 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
2 1z 10763 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
31, 2sselii 3437 . . 3  |-  1  e.  QQ
4 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
6 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
74, 5, 6qqhvval 26532 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  1  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  1 )  =  ( ( L `  (numer `  1 ) ) 
./  ( L `  (denom `  1 ) ) ) )
83, 7mpan2 671 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  1
)  =  ( ( L `  (numer ` 
1 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
1 ) ) ) )
9 gcd1 13804 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  1 )  =  1 )
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  gcd  1 )  =  1
11 1div1e1 10111 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1211eqcomi 2462 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
1310, 12pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  gcd  1 )  =  1  /\  1  =  ( 1  / 
1 ) )
14 1nn 10420 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
15 qnumdenbi 13910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  (
( ( 1  gcd  1 )  =  1  /\  1  =  ( 1  /  1 ) )  <->  ( (numer ` 
1 )  =  1  /\  (denom `  1
)  =  1 ) ) )
163, 2, 14, 15mp3an 1315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  gcd  1
)  =  1  /\  1  =  ( 1  /  1 ) )  <-> 
( (numer `  1
)  =  1  /\  (denom `  1 )  =  1 ) )
1713, 16mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (numer `  1 )  =  1  /\  (denom ` 
1 )  =  1 )
1817simpli 458 . . . . . 6  |-  (numer ` 
1 )  =  1
1918fveq2i 5778 . . . . 5  |-  ( L `
 (numer `  1
) )  =  ( L `  1 )
2017simpri 462 . . . . . 6  |-  (denom ` 
1 )  =  1
2120fveq2i 5778 . . . . 5  |-  ( L `
 (denom `  1
) )  =  ( L `  1 )
2219, 21oveq12i 6188 . . . 4  |-  ( ( L `  (numer ` 
1 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
1 ) ) )  =  ( ( L `
 1 )  ./  ( L `  1 ) )
23 drngrng 16931 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
24 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
256, 24zrh1 18039 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  R
) )
2625, 25oveq12d 6194 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( L `  1 ) 
./  ( L ` 
1 ) )  =  ( ( 1r `  R )  ./  ( 1r `  R ) ) )
2723, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 1 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( ( 1r `  R ) 
./  ( 1r `  R ) ) )
284, 24rngidcl 16757 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
2923, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
304, 5, 24dvr1 16873 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
3123, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( 1r
`  R )  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3227, 31eqtrd 2490 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 1 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3322, 32syl5eq 2502 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (numer `  1
) )  ./  ( L `  (denom `  1
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
3433adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( ( L `  (numer `  1
) )  ./  ( L `  (denom `  1
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
358, 34eqtrd 2490 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  1
)  =  ( 1r
`  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   0cc0 9369   1c1 9370    / cdiv 10080   NNcn 10409   ZZcz 10733   QQcq 11040    gcd cgcd 13778  numercnumer 13899  denomcdenom 13900   Basecbs 14262   1rcur 16694   Ringcrg 16737  /rcdvr 16866   DivRingcdr 16924   ZRHomczrh 18026  chrcchr 18028  QQHomcqqh 26521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448  ax-mulf 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-fz 11525  df-fl 11729  df-mod 11796  df-seq 11894  df-exp 11953  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-dvds 13624  df-gcd 13779  df-numer 13901  df-denom 13902  df-gz 14079  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-starv 14341  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-unif 14349  df-0g 14468  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-od 16122  df-cmn 16369  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-cring 16740  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-rnghom 16898  df-drng 16926  df-subrg 16955  df-cnfld 17914  df-zring 17979  df-zrh 18030  df-chr 18032  df-qqh 26522
This theorem is referenced by:  qqhrhm  26538
  Copyright terms: Public domain W3C validator