Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Unicode version

Theorem qqh1 28127
Description: The image of  1 by the QQHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0  |-  B  =  ( Base `  R
)
qqhval2.1  |-  ./  =  (/r
`  R )
qqhval2.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
Assertion
Ref Expression
qqh1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  1
)  =  ( 1r
`  R ) )

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 11214 . . . 4  |-  ZZ  C_  QQ
2 1z 10915 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
31, 2sselii 3496 . . 3  |-  1  e.  QQ
4 qqhval2.0 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 qqhval2.1 . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
6 qqhval2.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
74, 5, 6qqhvval 28125 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  /\  1  e.  QQ )  ->  (
(QQHom `  R ) `  1 )  =  ( ( L `  (numer `  1 ) ) 
./  ( L `  (denom `  1 ) ) ) )
83, 7mpan2 671 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  1
)  =  ( ( L `  (numer ` 
1 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
1 ) ) ) )
9 gcd1 14182 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  1 )  =  1 )
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  gcd  1 )  =  1
11 1div1e1 10258 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1211eqcomi 2470 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
1310, 12pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  gcd  1 )  =  1  /\  1  =  ( 1  / 
1 ) )
14 1nn 10567 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
15 qnumdenbi 14289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  (
( ( 1  gcd  1 )  =  1  /\  1  =  ( 1  /  1 ) )  <->  ( (numer ` 
1 )  =  1  /\  (denom `  1
)  =  1 ) ) )
163, 2, 14, 15mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  gcd  1
)  =  1  /\  1  =  ( 1  /  1 ) )  <-> 
( (numer `  1
)  =  1  /\  (denom `  1 )  =  1 ) )
1713, 16mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (numer `  1 )  =  1  /\  (denom ` 
1 )  =  1 )
1817simpli 458 . . . . . 6  |-  (numer ` 
1 )  =  1
1918fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( L `
 (numer `  1
) )  =  ( L `  1 )
2017simpri 462 . . . . . 6  |-  (denom ` 
1 )  =  1
2120fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( L `
 (denom `  1
) )  =  ( L `  1 )
2219, 21oveq12i 6308 . . . 4  |-  ( ( L `  (numer ` 
1 ) )  ./  ( L `  (denom ` 
1 ) ) )  =  ( ( L `
 1 )  ./  ( L `  1 ) )
23 drngring 17530 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
24 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
256, 24zrh1 18677 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  R
) )
2625, 25oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( L `  1 ) 
./  ( L ` 
1 ) )  =  ( ( 1r `  R )  ./  ( 1r `  R ) ) )
2723, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 1 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( ( 1r `  R ) 
./  ( 1r `  R ) ) )
284, 24ringidcl 17346 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
2923, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
304, 5, 24dvr1 17465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
3123, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( 1r
`  R )  ./  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3227, 31eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 1 )  ./  ( L `  1 ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3322, 32syl5eq 2510 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 (numer `  1
) )  ./  ( L `  (denom `  1
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
3433adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( ( L `  (numer `  1
) )  ./  ( L `  (denom `  1
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
358, 34eqtrd 2498 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  (chr `  R )  =  0 )  ->  ( (QQHom `  R ) `  1
)  =  ( 1r
`  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   QQcq 11207    gcd cgcd 14156  numercnumer 14278  denomcdenom 14279   Basecbs 14644   1rcur 17280   Ringcrg 17325  /rcdvr 17458   DivRingcdr 17523   ZRHomczrh 18664  chrcchr 18666  QQHomcqqh 28114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-od 16680  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-chr 18670  df-qqh 28115
This theorem is referenced by:  qqhrhm  28131
  Copyright terms: Public domain W3C validator