Theorem qqh1 28127

Description: The image of 1 by the QQHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	|- B = ( Base ` R )
qqhval2.1	|- ./ = (/r ` R )
qqhval2.2	|- L = ( ZRHom ` R )

Assertion

Ref	Expression
qqh1	|- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( 1r ` R ) )

Proof of Theorem qqh1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 11214	. . . 4 |- ZZ C_ QQ
2		1z 10915	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3	1, 2	sselii 3496	. . 3 |- 1 e. QQ
4		qqhval2.0	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
5		qqhval2.1	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
6		qqhval2.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` R )
7	4, 5, 6	qqhvval 28125	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) /\ 1 e. QQ ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 671	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) )
9		gcd1 14182	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 gcd 1 ) = 1 )
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 1 gcd 1 ) = 1
11		1div1e1 10258	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
12	11	eqcomi 2470	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 1 / 1 )
13	10, 12	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 gcd 1 ) = 1 /\ 1 = ( 1 / 1 ) )
14		1nn 10567	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
15		qnumdenbi 14289	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. QQ /\ 1 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( ( 1 gcd 1 ) = 1 /\ 1 = ( 1 / 1 ) ) <-> ( (numer ` 1 ) = 1 /\ (denom ` 1 ) = 1 ) ) )
16	3, 2, 14, 15	mp3an 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 gcd 1 ) = 1 /\ 1 = ( 1 / 1 ) ) <-> ( (numer ` 1 ) = 1 /\ (denom ` 1 ) = 1 ) )
17	13, 16	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( (numer ` 1 ) = 1 /\ (denom ` 1 ) = 1 )
18	17	simpli 458	. . . . . 6 |- (numer ` 1 ) = 1
19	18	fveq2i 5875	. . . . 5 |- ( L ` (numer ` 1 ) ) = ( L ` 1 )
20	17	simpri 462	. . . . . 6 |- (denom ` 1 ) = 1
21	20	fveq2i 5875	. . . . 5 |- ( L ` (denom ` 1 ) ) = ( L ` 1 )
22	19, 21	oveq12i 6308	. . . 4 |- ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) = ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) )
23		drngring 17530	. . . . . 6 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
24		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
25	6, 24	zrh1 18677	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` R ) )
26	25, 25	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) ) = ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) )
27	23, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) ) = ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) )
28	4, 24	ringidcl 17346	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
29	23, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( R e. DivRing -> ( 1r ` R ) e. B )
30	4, 5, 24	dvr1 17465	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
31	23, 29, 30	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> ( ( 1r ` R ) ./ ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
32	27, 31	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` 1 ) ./ ( L ` 1 ) ) = ( 1r ` R ) )
33	22, 32	syl5eq 2510	. . 3 |- ( R e. DivRing -> ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) = ( 1r ` R ) )
34	33	adantr 465	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( ( L ` (numer ` 1 ) ) ./ ( L ` (denom ` 1 ) ) ) = ( 1r ` R ) )
35	8, 34	eqtrd 2498	1 |- ( ( R e. DivRing /\ (chr ` R ) = 0 ) -> ( (QQHom ` R ) ` 1 ) = ( 1r ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   QQcq 11207   gcd cgcd 14156  numercnumer 14278  denomcdenom 14279   Basecbs 14644   1rcur 17280   Ringcrg 17325  /_rcdvr 17458   DivRingcdr 17523   ZRHomczrh 18664  chrcchr 18666  QQHomcqqh 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-od 16680  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-chr 18670  df-qqh 28115

This theorem is referenced by:  qqhrhm  28131