Theorem drngring 18577

Description: A division ring is a ring. (Contributed by NM, 8-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
drngring	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem drngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 18574	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simplbi 475	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  DivRingcdr 18570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-drng 18572

This theorem is referenced by:  drnggrp  18578  drngid  18584  drngunz  18585  drnginvrcl  18587  drnginvrn0  18588  drnginvrl  18589  drnginvrr  18590  drngmul0or  18591  abvtriv  18664  rlmlvec  19027  drngnidl  19050  drnglpir  19074  drngnzr  19083  drngdomn  19124  qsssubdrg  19624  frlmphllem  19938  frlmphl  19939  cvsdivcl  22741  qcvs  22755  cphsubrglem  22785  rrxcph  22988  drnguc1p  23734  ig1peu  23735  ig1pcl  23739  ig1pdvds  23740  ig1prsp  23741  ply1lpir  23742  padicabv  25119  ofldchr  29145  reofld  29171  rearchi  29173  xrge0slmod  29175  zrhunitpreima  29350  elzrhunit  29351  qqhval2lem  29353  qqh0  29356  qqh1  29357  qqhf  29358  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  qqhnm  29362  qqhucn  29364  zrhre  29391  qqhre  29392  lindsdom  32573  lindsenlbs  32574  matunitlindflem1  32575  matunitlindflem2  32576  matunitlindf  32577  dvalveclem  35332  dvhlveclem  35415  hlhilsrnglem  36263  sdrgacs  36790  cntzsdrg  36791  drhmsubc  41872  drngcat  41873  drhmsubcALTV  41891  drngcatALTV  41892  aacllem  42356