Theorem dvalveclem 35332

Description: Lemma for dvalvec 35333. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvalveclem.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
dvalveclem.m	⊢ × = (.r‘𝐷)
dvalveclem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvalveclem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem

Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvalveclem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvalvec.v	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvavbase 35319	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7		dvalveclem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝑈))
9		dvalveclem.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11		dvalveclem.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))
13		dvalveclem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
15	1, 13, 3, 9, 14	dvabase 35313	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
16	15	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17		dvalveclem.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (+g‘𝐷))
19		dvalveclem.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → × = (.r‘𝐷))
21	1, 2, 13	tendoidcl 35075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21, 16	eleqtrd 2690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23		dvalveclem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
24		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
25	23, 1, 2, 13, 24	tendo1ne0 35134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
27	1, 26, 3, 9	dvasca 35312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
28	27	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
30	23, 1, 2, 26, 24, 29	erng0g 35300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
31	28, 30	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
32	25, 31	neeqtrrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
33	21, 21	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
34	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 35318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
35	33, 34	mpdan 699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36		f1oi 6086	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37		f1of 6050	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
38		fcoi2 5992	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
40	35, 39	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
41	22, 32, 40	3jca 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 26	erngdv 35299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
43	27, 42	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
45		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
46	14, 19, 44, 45	drngid2 18586	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
47	43, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
48	41, 47	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
49	48	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
50		drngring 18577	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
51	43, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
52	1, 3	dvaabl 35331	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53		ablgrp 18021	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
55	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
56	55	3impb 1252	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
57	1, 2, 13	tendocl 35073	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
58	56, 57	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
59	1, 2, 13	tendospdi1 35327	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
60		simpr1 1060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
61	1, 2	ltrnco 35025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62	61	3adant3r1 1266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
63	60, 62	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
64	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
65	63, 64	syldan 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
66	57	3adant3r3 1268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
67	1, 2, 13	tendocl 35073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
68	67	3adant3r2 1267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
69	66, 68	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇))
70	1, 2, 3, 7	dvavadd 35321	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
71	69, 70	syldan 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
73	1, 2, 3, 7	dvavadd 35321	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
74	73	3adantr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
75	74	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)))
76	55	3adantr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
77	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
78	77	3adantr2 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
79	76, 78	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
80	72, 75, 79	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
81	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvaplusgv 35316	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
82	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvafplusg 35314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
83	82	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
84	83	oveqd 6566	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) = (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡))
85		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
86	1, 2, 13, 85	tendoplcl 35087	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
87	84, 86	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
88	87	3adant3r3 1268	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
89		simpr3 1062	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
90	88, 89	jca 553	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
91	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
92	90, 91	syldan 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
93	77	3adantr2 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
94	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
95	94	3adantr1 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
96	93, 95	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)))
97	67	3adant3r2 1267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
98	1, 2, 13	tendospcl 35325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
99	98	3adant3r1 1266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
100	97, 99	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
101	1, 2, 3, 7	dvavadd 35321	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
102	100, 101	syldan 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
103	96, 102	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
104	81, 92, 103	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
105	1, 2, 13	tendospass 35326	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
106	1, 13	tendococl 35078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
107	106	3adant3r3 1268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
108	107, 89	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
109	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
110	108, 109	syldan 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
111		simpr1 1060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
112	111, 99	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
113	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
114	112, 113	syldan 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
115	105, 110, 114	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
116	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 35318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
117	116	3adantr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
118	117	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓))
119	95	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
120	115, 118, 119	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
121	21	anim1i 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
122	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 35323	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123	121, 122	syldan 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124		fvresi 6344	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125	124	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126	123, 125	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
127	6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126	islmodd 18692	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
128	9	islvec 18925	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129	127, 43, 128	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  Abelcabl 18017  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  DivRingcdr 18570  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058  EDRingcedring 35059  DVecAcdveca 35308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309

This theorem is referenced by:  dvalvec  35333