Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reofld 29171
 Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld fld ∈ oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 19784 . 2 fld ∈ Field
2 isfld 18579 . . . . 5 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
32simplbi 475 . . . 4 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4 drngring 18577 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 fld ∈ Ring
6 ringgrp 18375 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
8 grpmnd 17252 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Mnd
10 retos 19783 . . . . 5 fld ∈ Toset
11 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 simpr1 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 simpr2 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14 simpr3 1062 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 10520 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16153anassrs 1282 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
1716ex 449 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18173impa 1251 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
1918rgen3 2959 . . . . 5 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20 rebase 19771 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
21 replusg 19775 . . . . . 6 + = (+g‘ℝfld)
22 rele2 19779 . . . . . 6 ≤ = (le‘ℝfld)
2320, 21, 22isomnd 29032 . . . . 5 (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
249, 10, 19, 23mpbir3an 1237 . . . 4 fld ∈ oMnd
25 isogrp 29033 . . . 4 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
267, 24, 25mpbir2an 957 . . 3 fld ∈ oGrp
27 mulge0 10425 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2827an4s 865 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2928ex 449 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
3029rgen2a 2960 . . 3 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31 re0g 19777 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
32 remulr 19776 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
3320, 31, 32, 22isorng 29130 . . 3 (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
345, 26, 30, 33mpbir3an 1237 . 2 fld ∈ oRing
35 isofld 29133 . 2 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
361, 34, 35mpbir2an 957 1 fld ∈ oField
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954  Tosetctos 16856  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  DivRingcdr 18570  Fieldcfield 18571  ℝfldcrefld 19769  oMndcomnd 29028  oGrpcogrp 29029  oRingcorng 29126  oFieldcofld 29127 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-omnd 29030  df-ogrp 29031  df-orng 29128  df-ofld 29129 This theorem is referenced by:  nn0omnd  29172  rearchi  29173  rerrext  29381  cnrrext  29382
 Copyright terms: Public domain W3C validator