Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rearchi 29173
 Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 11166. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi fld ∈ Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 29171 . . 3 fld ∈ oField
2 rebase 19771 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
3 eqid 2610 . . . 4 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
4 relt 19780 . . . 4 < = (lt‘ℝfld)
52, 3, 4isarchiofld 29148 . . 3 (ℝfld ∈ oField → (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (ℝfld ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
7 arch 11166 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
8 nnz 11276 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9 refld 19784 . . . . . . . . 9 fld ∈ Field
10 isfld 18579 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
1110simplbi 475 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
12 drngring 18577 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
14 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
15 re1r 19778 . . . . . . . . 9 1 = (1r‘ℝfld)
163, 14, 15zrhmulg 19677 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
1713, 16mpan 702 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = (𝑛(.g‘ℝfld)1))
18 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
19 remulg 19772 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
2018, 19mpan2 703 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℝfld)1) = (𝑛 · 1))
21 zcn 11259 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
2221mulid1d 9936 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2317, 20, 223eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) = 𝑛)
2423breq2d 4595 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
258, 24syl 17 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ 𝑥 < 𝑛))
2625rexbiia 3022 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
277, 26sylibr 223 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < ((ℤRHom‘ℝfld)‘𝑛))
286, 27mprgbir 2911 1 fld ∈ Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  ℕcn 10897  ℤcz 11254  .gcmg 17363  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  DivRingcdr 18570  Fieldcfield 18571  ℤRHomczrh 19667  ℝfldcrefld 19769  Archicarchi 29062  oFieldcofld 29127 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-refld 19770  df-omnd 29030  df-ogrp 29031  df-inftm 29063  df-archi 29064  df-orng 29128  df-ofld 29129 This theorem is referenced by:  nn0archi  29174
 Copyright terms: Public domain W3C validator