Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lpir 23742
 Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lpir (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 18577 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1lpir.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19439 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
75, 6lidlss 19031 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
9 eqid 2610 . . . . . . . 8 (idlGen1p𝑅) = (idlGen1p𝑅)
102, 9, 6ig1pcl 23739 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ 𝑖)
118, 10sseldd 3569 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃))
12 eqid 2610 . . . . . . 7 (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
132, 9, 6, 12ig1prsp 23741 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)}))
14 sneq 4135 . . . . . . . . 9 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → {𝑗} = {((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})
1514fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)}))
1615eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → (𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}) ↔ 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})))
1716rspcev 3282 . . . . . 6 ((((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
1811, 13, 17syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
194adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Ring)
20 eqid 2610 . . . . . . 7 (LPIdeal‘𝑃) = (LPIdeal‘𝑃)
2120, 12, 5islpidl 19067 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
2219, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
2318, 22mpbird 246 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃))
2423ex 449 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃)))
2524ssrdv 3574 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃))
2620, 6islpir2 19072 . 2 (𝑃 ∈ LPIR ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃)))
274, 25, 26sylanbrc 695 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Ringcrg 18370  DivRingcdr 18570  LIdealclidl 18991  RSpancrsp 18992  LPIdealclpidl 19062  LPIRclpir 19063  Poly1cpl1 19368  idlGen1pcig1p 23693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-lpidl 19064  df-lpir 19065  df-rlreg 19104  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620  df-mon1 23694  df-uc1p 23695  df-q1p 23696  df-r1p 23697  df-ig1p 23698 This theorem is referenced by:  ply1pid  23743
 Copyright terms: Public domain W3C validator