MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503prm 15685
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 15669 . 2 139 ∈ ℙ
2 1nn0 11185 . . 3 1 ∈ ℕ0
3 8nn 11068 . . 3 8 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11394 . 2 18 ∈ ℕ
5 2503prm.1 . . . . 5 𝑁 = 2503
6 2nn0 11186 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
7 5nn0 11189 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
86, 7deccl 11388 . . . . . . 7 25 ∈ ℕ0
9 0nn0 11184 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11388 . . . . . 6 250 ∈ ℕ0
11 2p1e3 11028 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
12 eqid 2610 . . . . . 6 2502 = 2502
1310, 6, 11, 12decsuc 11411 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
145, 13eqtr4i 2635 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
1514oveq1i 6559 . . 3 (𝑁 − 1) = ((2502 + 1) − 1)
16 8nn0 11192 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
172, 16deccl 11388 . . . . 5 18 ∈ ℕ0
18 3nn0 11187 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
192, 18deccl 11388 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
20 9nn0 11193 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
21 eqid 2610 . . . . 5 139 = 139
22 6nn0 11190 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
232, 22deccl 11388 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
24 eqid 2610 . . . . . 6 13 = 13
25 eqid 2610 . . . . . 6 16 = 16
26 7nn0 11191 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
27 eqid 2610 . . . . . . 7 18 = 18
28 6cn 10979 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
29 ax-1cn 9873 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 6p1e7 11033 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
3128, 29, 30addcomli 10107 . . . . . . . 8 (1 + 6) = 7
3226dec0h 11398 . . . . . . . 8 7 = 07
3331, 32eqtri 2632 . . . . . . 7 (1 + 6) = 07
3429mulid1i 9921 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3529addid2i 10103 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35oveq12i 6561 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
37 1p1e2 11011 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3836, 37eqtri 2632 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
39 8cn 10983 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
4039mulid1i 9921 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
4140oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 7) = (8 + 7)
42 8p7e15 11493 . . . . . . . 8 (8 + 7) = 15
4341, 42eqtri 2632 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 7) = 15
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11442 . . . . . 6 ((18 · 1) + (1 + 6)) = 25
4522dec0h 11398 . . . . . . 7 6 = 06
46 3cn 10972 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4746mulid2i 9922 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
4846addid2i 10103 . . . . . . . . 9 (0 + 3) = 3
4947, 48oveq12i 6561 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
50 3p3e6 11038 . . . . . . . 8 (3 + 3) = 6
5149, 50eqtri 2632 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
52 4nn0 11188 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
53 8t3e24 11531 . . . . . . . 8 (8 · 3) = 24
54 4cn 10975 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
55 6p4e10 11474 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
5628, 54, 55addcomli 10107 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11457 . . . . . . 7 ((8 · 3) + 6) = 30
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11442 . . . . . 6 ((18 · 3) + 6) = 60
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11444 . . . . 5 ((18 · 13) + 16) = 250
60 9cn 10985 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6160mulid2i 9922 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
6261oveq1i 6559 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 7) = (9 + 7)
63 9p7e16 11501 . . . . . . 7 (9 + 7) = 16
6462, 63eqtri 2632 . . . . . 6 ((1 · 9) + 7) = 16
65 9t8e72 11545 . . . . . . 7 (9 · 8) = 72
6660, 39, 65mulcomli 9926 . . . . . 6 (8 · 9) = 72
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11463 . . . . 5 (18 · 9) = 162
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11465 . . . 4 (18 · 139) = 2502
6910, 6deccl 11388 . . . . . 6 2502 ∈ ℕ0
7069nn0cni 11181 . . . . 5 2502 ∈ ℂ
7170, 29pncan3oi 10176 . . . 4 ((2502 + 1) − 1) = 2502
7268, 71eqtr4i 2635 . . 3 (18 · 139) = ((2502 + 1) − 1)
7315, 72eqtr4i 2635 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · 139)
7410, 18deccl 11388 . . . . . 6 2503 ∈ ℕ0
755, 74eqeltri 2684 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
7675nn0cni 11181 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
77 npcan 10169 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7876, 29, 77mp2an 704 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
7978eqcomi 2619 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
80 1nn 10908 . 2 1 ∈ ℕ
81 2nn 11062 . 2 2 ∈ ℕ
8219, 20deccl 11388 . . . . 5 139 ∈ ℕ0
8382numexp1 15619 . . . 4 (139↑1) = 139
8483oveq2i 6560 . . 3 (18 · (139↑1)) = (18 · 139)
8573, 84eqtr4i 2635 . 2 (𝑁 − 1) = (18 · (139↑1))
86 8lt10 11550 . . . 4 8 < 10
87 1lt10 11557 . . . . 5 1 < 10
8880, 18, 2, 87declti 11422 . . . 4 1 < 13
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 11408 . . 3 18 < 139
9089, 83breqtrri 4610 . 2 18 < (139↑1)
9152503lem2 15683 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
9252503lem3 15684 . 2 (((2↑18) − 1) gcd 𝑁) = 1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 15449 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  0cn0 11169  cdc 11369  cexp 12722  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator