MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 23155
Description: Lemma for uniioombl 23163. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2610 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 23048 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6 frn 5966 . . . 4 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
8 rge0ssre 12151 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
97, 8syl6ss 3580 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
10 1nn 10908 . . . . 5 1 ∈ ℕ
11 fdm 5964 . . . . . 6 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → dom 𝑇 = ℕ)
125, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
1310, 12syl5eleqr 2695 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
14 ne0i 3880 . . . 4 (1 ∈ dom 𝑇 → dom 𝑇 ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
16 dm0rn0 5263 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1716necon3bii 2834 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1815, 17sylib 207 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
19 icossxr 12129 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
207, 19syl6ss 3580 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
21 supxrcl 12017 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
24 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpred 11748 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2623, 25readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2726rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
28 pnfxr 9971 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
30 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 ltpnf 11830 . . . 4 (((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3322, 27, 29, 30, 32xrlelttrd 11867 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
34 supxrbnd 12030 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
359, 18, 33, 34syl3anc 1318 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cin 3539  wss 3540  c0 3874   cuni 4372  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  +crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  seqcseq 12663  abscabs 13822  vol*covol 23038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23159  uniioombllem4  23160  uniioombllem5  23161  uniioombllem6  23162
  Copyright terms: Public domain W3C validator