Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlbas 19859
 Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
thlbas 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3 eqid 2610 . . . . 5 (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4 eqid 2610 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 19858 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
65fveq2d 6107 . . 3 (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7 fvex 6113 . . . . . 6 (CSubSp‘𝑊) ∈ V
82, 7eqeltri 2684 . . . . 5 𝐶 ∈ V
93ipobas 16978 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
11 baseid 15747 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
12 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
13 1nn 10908 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
14 1nn0 11185 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
15 1lt10 11557 . . . . . . . 8 1 < 10
1613, 14, 14, 15declti 11422 . . . . . . 7 1 < 11
1712, 16ltneii 10029 . . . . . 6 1 ≠ 11
18 basendx 15751 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
19 ocndx 15883 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
2018, 19neeq12i 2848 . . . . . 6 ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ 11)
2117, 20mpbir 220 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
2211, 21setsnid 15743 . . . 4 (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
2310, 22eqtri 2632 . . 3 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
246, 23syl6reqr 2663 . 2 (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
25 base0 15740 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
26 fvprc 6097 . . . 4 𝑊 ∈ V → (CSubSp‘𝑊) = ∅)
272, 26syl5eq 2656 . . 3 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
28 fvprc 6097 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
291, 28syl5eq 2656 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
3029fveq2d 6107 . . 3 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
3125, 27, 303eqtr4a 2670 . 2 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
3224, 31pm2.61i 175 1 𝐶 = (Base‘𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  ;cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  occoc 15776  toInccipo 16974  ocvcocv 19823  CSubSpccss 19824  toHLcthl 19825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ocomp 15790  df-ipo 16975  df-thl 19828 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator