MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0 10926
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 10904 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnge1 10923 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3 0lt1 10429 . . 3 0 < 1
4 0re 9919 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 1re 9918 . . . 4 1 ∈ ℝ
6 ltletr 10008 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1406 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 708 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
91, 2, 8sylc 63 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4583  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  cn 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898
This theorem is referenced by:  nnnle0  10928  nngt0i  10931  nnsub  10936  nngt0d  10941  nnrecl  11167  nn0ge0  11195  0mnnnnn0  11202  elnnnn0b  11214  nn0sub  11220  elnnz  11264  nnm1ge0  11321  gtndiv  11330  rpnnen1lem2  11690  rpnnen1lem1  11691  rpnnen1lem3  11692  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem1OLD  11697  rpnnen1lem3OLD  11698  rpnnen1lem5OLD  11700  nnrp  11718  nnledivrp  11816  qbtwnre  11904  fzo1fzo0n0  12386  ubmelfzo  12400  elfznelfzo  12439  adddivflid  12481  flltdivnn0lt  12496  quoremz  12516  quoremnn0ALT  12518  intfracq  12520  fldiv  12521  expnnval  12725  nnlesq  12830  facdiv  12936  faclbnd  12939  bc0k  12960  harmonic  14430  nndivdvds  14827  evennn2n  14913  nnoddm1d2  14940  ndvdssub  14971  ndvdsadd  14972  sqgcd  15116  lcmgcdlem  15157  qredeu  15210  isprm5  15257  divdenle  15295  hashgcdlem  15331  oddprm  15353  pythagtriplem12  15369  pythagtriplem13  15370  pythagtriplem14  15371  pythagtriplem16  15373  pythagtriplem19  15376  pc2dvds  15421  fldivp1  15439  prmreclem3  15460  prmgaplem7  15599  mulgnn  17370  mulgnegnn  17374  odmodnn0  17782  prmirredlem  19660  znidomb  19729  fvmptnn04if  20473  chfacfscmul0  20482  chfacfpmmul0  20486  dyadss  23168  volivth  23181  vitali  23188  mbfi1fseqlem3  23290  itg2gt0  23333  dgrcolem2  23834  logtayllem  24205  leibpi  24469  eldmgm  24548  basellem6  24612  muinv  24719  logfac2  24742  bcmono  24802  bposlem5  24813  bposlem6  24814  lgsval4a  24844  gausslemma2dlem1a  24890  ostth2lem1  25107  ostth2lem3  25124  clwwlkf1  26324  rusgra0edg  26482  minvecolem3  27116  subfaclim  30424  subfacval3  30425  snmlff  30565  nn0prpwlem  31487  nndivsub  31626  nndivlub  31627  poimirlem32  32611  fzmul  32707  irrapxlem1  36404  irrapxlem2  36405  pellexlem1  36411  monotoddzzfi  36525  rmynn  36541  jm2.24nn  36544  jm2.17c  36547  congabseq  36559  jm2.20nn  36582  rmydioph  36599  dgrsub2  36724  idomrootle  36792  rp-isfinite6  36883  stoweidlem17  38910  stoweidlem49  38942  wallispilem4  38961  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  fourierdlem73  39072  fourierdlem111  39110  iccpartltu  39963  fmtnosqrt  39989  2pwp1prm  40041  ccats1pfxeqrex  40285  2ffzoeq  40361  clwwlksf1  41224
  Copyright terms: Public domain W3C validator