Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr2 11643
 Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
indstr2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr2.3 𝜒
indstr2.4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2 elnn1uz2 11641 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
3 indstr2.3 . . . . 5 𝜒
4 nnnlt1 10927 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
85, 7mtbird 314 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
98pm2.21d 117 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝜓))
109ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓))
11 pm5.5 350 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13 indstr2.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
1412, 13bitrd 267 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
153, 14mpbiri 247 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
16 indstr2.4 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
1715, 16jaoi 393 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
182, 17sylbi 206 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
191, 18indstr 11632 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤ≥cuz 11563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564 This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  31487
 Copyright terms: Public domain W3C validator