Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprm 15261
 Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprm ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 15227 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 gcddvds 15063 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31, 2sylan 487 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
43simprd 478 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5 breq1 4586 . . . . 5 ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑃𝑁))
64, 5syl5ibcom 234 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃𝑃𝑁))
76con3d 147 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8 0nnn 10929 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
9 prmnn 15226 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
119, 10syl5ibcom 234 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
128, 11mtoi 189 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
1312intnanrd 954 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15 gcdn0cl 15062 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
1615ex 449 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
171, 16sylan 487 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
1814, 17mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
193simpld 474 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20 isprm2 15233 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2120simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23 eqeq1 2614 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24 eqeq1 2614 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
2523, 24orbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
2622, 25imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2726rspcv 3278 . . . . . . 7 ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2821, 27syl5com 31 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
3018, 19, 29mp2d 47 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31 biorf 419 . . . . 5 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32 orcom 401 . . . . 5 (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
3331, 32syl6bb 275 . . . 4 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
3430, 33syl5ibrcom 236 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
357, 34syld 46 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36 iddvds 14833 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
371, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃𝑃)
39 dvdslegcd 15064 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4039ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41403anidm12 1375 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
421, 41sylan 487 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
4314, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4438, 43mpand 707 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45 prmgt1 15247 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4645adantr 480 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
471zred 11358 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
4918nnred 10912 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
51 ltletr 10008 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5250, 51mp3an1 1403 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5348, 49, 52syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5446, 53mpand 707 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
55 ltne 10013 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5650, 55mpan 702 . . . . 5 (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5756a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5844, 54, 573syld 58 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5958necon2bd 2798 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃𝑁))
6035, 59impbid 201 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224 This theorem is referenced by:  prmrp  15262  euclemma  15263  cncongrprm  15275  isoddgcd1  15277  phiprmpw  15319  fermltl  15327  prmdiv  15328  prmdiveq  15329  vfermltl  15344  prmpwdvds  15446  1259lem5  15680  2503lem3  15684  4001lem4  15689  gexexlem  18078  ablfac1lem  18290  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem3  18299  perfect1  24753  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  lgslem1  24822  lgsprme0  24864  lgsqrlem2  24872  lgsqr  24876  gausslemma2dlem0c  24883  lgsquad2lem2  24910  2sqblem  24956  rpvmasumlem  24976  dchrisum0flblem2  24998  nn0prpwlem  31487  isodd7  40115
 Copyright terms: Public domain W3C validator