Theorem fermltl 15327

Description: Fermat's little theorem. When 𝑃 is prime, 𝐴↑𝑃≡𝐴 (mod 𝑃) for any 𝐴, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Proof of Theorem fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15226	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		dvdsval3 14825	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
3	1, 2	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
4		simp2 1055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		0zd 11266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 0 ∈ ℤ)
6	1	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 11228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
8	6	nnrpd 11746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
9		simp3 1056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
10		0mod 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (0 mod 𝑃) = 0)
12	9, 11	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (𝐴 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
13		modexp 12861	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑃) = (0 mod 𝑃)) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = ((0↑𝑃) mod 𝑃))
14	4, 5, 7, 8, 12, 13	syl221anc 1329	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = ((0↑𝑃) mod 𝑃))
15	6	0expd 12886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (0↑𝑃) = 0)
16	15	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → ((0↑𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
17	12, 16	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → (𝐴 mod 𝑃) = ((0↑𝑃) mod 𝑃))
18	14, 17	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 𝑃) = 0) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
19	18	3expia 1259	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
20	3, 19	sylbid 229	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
21		coprm 15261	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
22		prmz 15227	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23		gcdcom 15073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
24	22, 23	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
25	24	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
26	21, 25	bitrd 267	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
27		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
28	1	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
29	28	phicld 15315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
31		zexpcl 12737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
32	27, 30, 31	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
33	32	zred 11358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ)
34		1red 9934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 1 ∈ ℝ)
35	28	nnrpd 11746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℝ+)
36		eulerth 15326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
37	1, 36	syl3an1 1351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
38		modmul1 12585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
39	33, 34, 27, 35, 37, 38	syl221anc 1329	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
40		phiprm 15320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
41	40	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
42	41	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(𝑃 − 1)))
43	42	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
44	27	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		expm1t 12750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
46	44, 28, 45	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
47	43, 46	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑃))
48	47	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃))
49	44	mulid2d 9937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
50	49	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((1 · 𝐴) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
51	39, 48, 50	3eqtr3d 2652	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
52	51	3expia 1259	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
53	26, 52	sylbid 229	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
54	20, 53	pm2.61d 169	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708   mod cmo 12530  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223  ϕcphi 15307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309

This theorem is referenced by: (None)