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Theorem numclwlk1lem2foa 26618
 Description: Going forth and back form the end of a (closed) walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2foa ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑃   𝑤,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑛)   𝑄(𝑣,𝑛)   𝐸(𝑣)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2foa
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
2 uzuzle23 11605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
3 uznn0sub 11595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
543ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
6 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
7 numclwwlk.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
8 numclwwlk.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
97, 8numclwwlkovfel2 26610 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
11 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
14 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)))
157, 8numclwwlkovf2ex 26613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁))
1611, 13, 14, 15syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁))
17 nbgraisvtx 25960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄𝑉))
18173ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄𝑉))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄𝑉))
20 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
21 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
22213ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
25 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄𝑉 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
27 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) = (𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)))
2827oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
2920, 24, 26, 28syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
30 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
3123, 25, 30syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
32 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑃) = (𝑁 − 2))
3332eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
36 swrdccatid 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑃)
3720, 31, 35, 36syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑃)
3829, 37eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
3938exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄𝑉𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄𝑉𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))))
4140impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄𝑉𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
4219, 41syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
4342imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
4443eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
4544biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
4645imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)))
47 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)))
486adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → 𝑋𝑉)
4948anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (𝑋𝑉𝑄𝑉))
5047, 49jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑄𝑉)))
51 ccatw2s1p2 13266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑄𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑄)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑄)
53 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
54 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
55 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
56 subsub 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
5756eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
5853, 54, 55, 57syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
59 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (2 − 1) = 1
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (2 − 1) = 1)
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
6258, 61eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
63623ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
6665fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6752, 66eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6867ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄𝑉𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1))))
6919, 68syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1))))
7069impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
7170eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
7271biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
7372ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))))
7473pm2.43a 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
7574impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
77 ccatw2s1p1 13265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑄𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
7850, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
7978ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄𝑉 → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8019, 79syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8180imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8346, 76, 823jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8416, 83jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
8584exp31 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
8685expcom 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
8786exp31 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))))
88873ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))))
89883imp 1249 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
9089com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
9110, 90sylbid 229 . . . . . . . 8 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
9291com14 94 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
9392pm2.43i 50 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9493imp 444 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9594impcom 445 . . . 4 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
96 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9796eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
98 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9998eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
100 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)))
101100eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
10297, 99, 1013anbi123d 1391 . . . . 5 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
103102elrab 3331 . . . 4 (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10495, 103sylibr 223 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
105 numclwwlk.g . . . . 5 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
1067, 8, 105extwwlkfab 26617 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
107106adantr 480 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
108104, 107eleqtrrd 2691 . 2 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁))
109108ex 449 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150   USGrph cusg 25859   Neighbors cnbgra 25946   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2fo  26622
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