numclwlk1lem2foa - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwlk1lem2foa 26618

Description: Going forth and back form the end of a (closed) walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})

**Assertion**
Ref	Expression
numclwlk1lem2foa	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐸 𝑛,𝑁 𝑛,𝑉 𝑤,𝐶 𝑤,𝑁 𝐶,𝑛,𝑣,𝑤 𝑣,𝑁 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑣,𝑉 𝑤,𝐸 𝑤,𝑉 𝑤,𝐹 𝑤,𝑃 𝑤,𝑄 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑣,𝑛) 𝑄(𝑣,𝑛) 𝐸(𝑣) 𝐹(𝑣,𝑛) 𝐺(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2foa Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
2		uzuzle23 11605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		uznn0sub 11595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
5	4	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
6		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		numclwwlk.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
8		numclwwlk.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
9	7, 8	numclwwlkovfel2 26610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
11		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))
12		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
14		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)))
15	7, 8	numclwwlkovf2ex 26613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁))
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁))
17		nbgraisvtx 25960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
18	17	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑉))
20		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
21		s1cl 13235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
22	21	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
25		s1cl 13235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
27		ccatass 13224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) = (𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)))
28	27	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
29	20, 24, 26, 28	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
30		ccatcl 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
31	23, 25, 30	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
32		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑃) = (𝑁 − 2))
33	32	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
36		swrdccatid 13348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑃)
37	20, 31, 35, 36	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑃)
38	29, 37	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
39	38	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ 𝑉 → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ 𝑉 → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))))
41	40	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ 𝑉 → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
42	19, 41	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
43	42	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
44	43	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
45	44	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
46	45	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)))
47		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)))
48	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
49	48	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉))
50	47, 49	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)))
51		ccatw2s1p2 13266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑄)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑄)
53		eluzelcn 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
55		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
56		subsub 10190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
57	56	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
58	53, 54, 55, 57	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
59		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (2 − 1) = 1
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (2 − 1) = 1)
61	60	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
62	58, 61	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
63	62	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
66	65	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
67	52, 66	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
68	67	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ 𝑉 → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1))))
69	19, 68	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1))))
70	69	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
71	70	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
72	71	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
73	72	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))))
74	73	pm2.43a 52	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
75	74	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
77		ccatw2s1p1 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ 𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
78	50, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
79	78	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ 𝑉 → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
80	19, 79	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
81	80	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
83	46, 76, 82	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
84	16, 83	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
85	84	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
86	85	expcom 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
87	86	exp31 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))))
88	87	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))))
89	88	3imp 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
90	89	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
91	10, 90	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
92	91	com14 94	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
93	92	pm2.43i 50	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
94	93	imp 444	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
95	94	impcom 445	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
96		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
97	96	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
98		fveq1 6102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
99	98	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
100		fveq1 6102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)))
101	100	eqeq1d 2612	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
102	97, 99, 101	3anbi123d 1391	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
103	102	elrab 3331	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104	95, 103	sylibr 223	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
105		numclwwlk.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
106	7, 8, 105	extwwlkfab 26617	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
107	106	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
108	104, 107	eleqtrrd 2691	. 2 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁))
109	108	ex 449	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 {crab 2900 {cpr 4127 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ran crn 5039 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↦ cmpt2 6551 ℂcc 9813 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 − cmin 10145 2c2 10947 3c3 10948 ℕ₀cn0 11169 ℤ_≥cuz 11563 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 ++ cconcat 13148 ⟨“cs1 13149 substr csubstr 13150 USGrph cusg 25859 Neighbors cnbgra 25946 ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-concat 13156 df-s1 13157 df-substr 13158 df-usgra 25862 df-nbgra 25949 df-clwwlk 26279 df-clwwlkn 26280

This theorem is referenced by: numclwlk1lem2fo 26622

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