Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzosplitpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitpr 40362
 Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitpr (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))

Proof of Theorem fzosplitpr
StepHypRef Expression
1 df-2 10956 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
21a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 2 = (1 + 1))
32oveq2d 6565 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 2) = (𝐵 + (1 + 1)))
4 eluzelcn 11575 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 1cnd 9935 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6 add32r 10134 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
74, 5, 5, 6syl3anc 1318 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 + 1)) = ((𝐵 + 1) + 1))
83, 7eqtrd 2644 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 2) = ((𝐵 + 1) + 1))
98oveq2d 6565 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)))
10 peano2uz 11617 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
11 fzosplitsn 12442 . . 3 ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^((𝐵 + 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}))
13 fzosplitsn 12442 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}))
1413uneq1d 3728 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}))
15 unass 3732 . . . 4 (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}))
1615a1i 11 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵}) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})))
17 df-pr 4128 . . . . . 6 {𝐵, (𝐵 + 1)} = ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})
1817eqcomi 2619 . . . . 5 ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)}
1918a1i 11 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)}) = {𝐵, (𝐵 + 1)})
2019uneq2d 3729 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ ({𝐵} ∪ {(𝐵 + 1)})) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
2114, 16, 203eqtrd 2648 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) ∪ {(𝐵 + 1)}) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
229, 12, 213eqtrd 2648 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^(𝐵 + 2)) = ((𝐴..^𝐵) ∪ {𝐵, (𝐵 + 1)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator