Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzosplitpr Structured version   Unicode version

Theorem fzosplitpr 31766
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitpr  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  2
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B , 
( B  +  1 ) } ) )

Proof of Theorem fzosplitpr
StepHypRef Expression
1 df-2 10583 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
32oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  +  2 )  =  ( B  +  ( 1  +  1 ) ) )
4 eluzelcn 11082 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  CC )
5 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  1  e.  CC )
74, 6, 63jca 1171 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
8 addass 9568 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( B  +  1 )  +  1 )  =  ( B  +  ( 1  +  1 ) ) )
98eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( B  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( B  +  1 )  +  1 ) )
107, 9syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( B  + 
1 )  +  1 ) )
113, 10eqtrd 2501 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  +  2 )  =  ( ( B  + 
1 )  +  1 ) )
1211oveq2d 6291 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  2
) )  =  ( A..^ ( ( B  +  1 )  +  1 ) ) )
13 peano2uz 11123 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
14 fzosplitsn 11875 . . . 4  |-  ( ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  +  1 ) )  u.  { ( B  +  1 ) } ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ ( B  +  1 ) )  u.  { ( B  +  1 ) } ) )
16 fzosplitsn 11875 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  1
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B }
) )
1716uneq1d 3650 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ ( B  +  1 ) )  u.  {
( B  +  1 ) } )  =  ( ( ( A..^ B )  u.  { B } )  u.  {
( B  +  1 ) } ) )
18 unass 3654 . . . . . 6  |-  ( ( ( A..^ B )  u.  { B }
)  u.  { ( B  +  1 ) } )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( { B }  u.  { ( B  +  1 ) } ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( A..^ B )  u.  { B }
)  u.  { ( B  +  1 ) } )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( { B }  u.  { ( B  +  1 ) } ) ) )
20 df-pr 4023 . . . . . . . 8  |-  { B ,  ( B  + 
1 ) }  =  ( { B }  u.  { ( B  +  1 ) } )
2120eqcomi 2473 . . . . . . 7  |-  ( { B }  u.  {
( B  +  1 ) } )  =  { B ,  ( B  +  1 ) }
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( { B }  u.  { ( B  +  1 ) } )  =  { B ,  ( B  +  1 ) } )
2322uneq2d 3651 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ B )  u.  ( { B }  u.  {
( B  +  1 ) } ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B ,  ( B  +  1 ) } ) )
2419, 23eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( A..^ B )  u.  { B }
)  u.  { ( B  +  1 ) } )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B , 
( B  +  1 ) } ) )
2517, 24eqtrd 2501 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ ( B  +  1 ) )  u.  {
( B  +  1 ) } )  =  ( ( A..^ B
)  u.  { B ,  ( B  + 
1 ) } ) )
2615, 25eqtrd 2501 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( ( B  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B , 
( B  +  1 ) } ) )
2712, 26eqtrd 2501 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ ( B  +  2
) )  =  ( ( A..^ B )  u.  { B , 
( B  +  1 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    u. cun 3467   {csn 4020   {cpr 4022   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484   2c2 10574   ZZ>=cuz 11071  ..^cfzo 11781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator