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Theorem numclwlk1lem2fo 26622
 Description: T is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐺𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2fo ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐺𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝐺
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐸(𝑣)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2fo
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑝 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
2 numclwwlk.f . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 numclwwlk.g . . 3 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4 numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐺𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4numclwlk1lem2f 26619 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐺𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
6 elxp 5055 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))))
71, 2, 3numclwlk1lem2foa 26618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁)))
109imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁))
11 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁))
12 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
1312eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
14 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
151, 2, 3, 4numclwlk1lem2fv 26620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
1614, 11, 15sylc 63 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1716eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
1813, 17sylan9bbr 733 . . . . . . . . 9 (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
19 simprll 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
20 nbgraisvtx 25960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑏𝑉))
21203ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → 𝑏𝑉))
22 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
23 uzuzle23 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
24 uznn0sub 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
26253ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
27 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
281, 2numclwwlkovfel2 26610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2922, 26, 27, 28syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
30 df-3an 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
3129, 30syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
32 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
33 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
37 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
39 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
4039oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
4132, 36, 38, 40syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
42 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
4335, 37, 42syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
44 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑎) = (𝑁 − 2))
4544eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
48 swrdccatid 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4932, 43, 47, 48syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
5041, 49eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
51 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V
52 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1))
54 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
55 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
5654, 34, 55syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
57 lswccats1 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑏𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
5856, 57sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
59 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
6056, 37, 59syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
6154, 34anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
63 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
65 s1len 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1)
6764, 66oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)) = (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1))
68 s1len 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
7044, 69oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) = ((𝑁 − 2) + 1))
7170oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((𝑁 − 2) + 1) + 1))
72 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
74 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
7573, 74subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
76 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7775, 76, 76addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + (1 + 1)))
78 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (1 + 1) = 2
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → (1 + 1) = 2)
8079oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (1 + 1)) = ((𝑁 − 2) + 2))
8177, 80eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
8272, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
83 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
8472, 83npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
8582, 84eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8871, 87eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
9060, 67, 893eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑁)
9190oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9291fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9353, 58, 923eqtr3a 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9450, 93opeq12d 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
9594exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
96953ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9897com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
99983adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
10031, 99sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
101100com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
10221, 101syld 46 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
103102com13 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
104103imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
106105imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
107106adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
10819, 107eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
10911, 18, 108rspcedvd 3289 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐺𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
11010, 109mpancom 700 . . . . . . 7 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
111110ex 449 . . . . . 6 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
112111exlimivv 1847 . . . . 5 (∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
1136, 112sylbi 206 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
114113impcom 445 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
115114ralrimiva 2949 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
116 dffo3 6282 . 2 (𝑇:(𝑋𝐺𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐺𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐺𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
1175, 115, 116sylanbrc 695 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐺𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150   USGrph cusg 25859   Neighbors cnbgra 25946   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1o  26623
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