Theorem clwwlkext2edg 26330

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkext2edg	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknprop 26300	. . 3 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
2		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → 𝑉 ∈ V)
4		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → 𝐸 ∈ V)
6		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		isclwwlkn 26297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
10		isclwwlk 26296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
12	11	anbi1d 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
13	9, 12	bitrd 267	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
14		ige2m2fzo 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
15	14	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
17		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
18	17	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
19	18	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
21	16, 20	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
22		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
23		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
24	23	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
25	22, 24	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
26	25	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
27	26	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
29		ccatws1lenrev 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
30	29	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
31		eluzelcn 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32, 32	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
34		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 + 1) = 2
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = 2)
36	35	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
37	33, 36	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
38	37	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
39		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
40	39	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
41	38, 40	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1))
42	41	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1)))
43	30, 42	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1)))
44	43	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1))
45	44	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
46		simpl1 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
47		s1cl 13235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
48	47	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
50		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
51		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
52		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
53		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
55		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
56		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 1 < 2
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
58		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
59	52, 54, 55, 57, 58	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
60		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
61		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
62	60, 61	posdifd 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
64	59, 63	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
65	64	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
66	51, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
68	67	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
69	50, 68	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
72		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
74	71, 73	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (#‘𝑊))
75		hashneq0 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
78	74, 77	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
79	78	3adantl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
80	46, 49, 79	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
81	80	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
82	30, 81	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
83	82	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
84		ccatval1lsw 13221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
86	45, 85	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ( lastS ‘𝑊))
87		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 − 1) = 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1)
89	88	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (2 − 1))
90	89	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
91		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
92	31, 91, 32	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
93	90, 92	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
94	93	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
96		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
98	95, 97	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊))
99	98	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊)))
100	30, 99	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊)))
101	100	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊))
102	101	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
103		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
104	103	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
106		ccatws1ls 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
108	102, 107	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
109	86, 108	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {( lastS ‘𝑊), 𝑍})
110	109	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸))
111	28, 110	sylibd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸))
112	111	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)))
113	112	com13 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)))
114	113	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)))
115	114	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸))
116	115	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)
117	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
118		lswccats1 13263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
120	69	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
122	72	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
123	121, 122	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (#‘𝑊))
124		ccatfv0 13220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
125	46, 49, 123, 124	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
126	119, 125	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
127	126	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
128	30, 127	syld 46	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
129	128	impcom 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
130	129	eleq1d 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
131	130	biimpcd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ({( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 → (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
132	131	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
133	132	impl 648	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)
134	116, 133	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
135	134	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)))
136	13, 135	syl6bi 242	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))))
137	136	3adant2 1073	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))))
138	1, 137	mpcom 37	. 2 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)))
139	138	impcom 445	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   ClWWalks cclwwlk 26276   ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  26629