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Theorem clwwlkext2edg 26330
 Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkext2edg (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))

Proof of Theorem clwwlkext2edg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknprop 26300 . . 3 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
2 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝑉 ∈ V)
32adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → 𝑉 ∈ V)
4 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
54adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → 𝐸 ∈ V)
6 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
76adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 isclwwlkn 26297 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
93, 5, 7, 8syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
10 isclwwlk 26296 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
1110adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
1211anbi1d 737 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
139, 12bitrd 267 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)))
14 ige2m2fzo 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
15143ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
1817oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
1918eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
2116, 20mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)))
22 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)))
23 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
2423fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
2522, 24preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))})
2625eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
2726rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
29 ccatws1lenrev 13260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
30293adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)))
31 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
3331, 32, 32subsub4d 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
34 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 + 1) = 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = 2)
3635oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
3733, 36eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
38373ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
39 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
4039eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 1) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
4138, 40sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1))
4241ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1)))
4330, 42syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1)))
4443imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1))
4544fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
46 simpl1 1057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
47 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
48473ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
50 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
51 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
52 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
53 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
55 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
56 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 < 2
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
58 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
5952, 54, 55, 57, 58ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
60 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
61 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
6260, 61posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
6459, 63mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
6564ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6651, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1)))
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))))
68673imp 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
6950, 68sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 − 1))
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
72 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
7471, 73mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (#‘𝑊))
75 hashneq0 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7874, 77mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
79783adantl2 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅)
8046, 49, 793jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
8180ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
8230, 81syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
8382imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
84 ccatval1lsw 13221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
8645, 85eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)) = ( lastS ‘𝑊))
87 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 − 1) = 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
8988eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (2 − 1))
9089oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
91 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
9231, 91, 32subsubd 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
9390, 92eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
94933ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
96 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → (((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)))
9895, 97mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊))
9998ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊)))
10030, 99syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊)))
101100imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊))
102101fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
103 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
1041033adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
106 ccatws1ls 13262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
108102, 107eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍)
10986, 108preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {( lastS ‘𝑊), 𝑍})
110109eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸))
11128, 110sylibd 228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸))
112111ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)))
113112com13 86 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)))
1141133ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)))
115114imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸))
116115imp 444 . . . . . . 7 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸)
117104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉))
118 lswccats1 13263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
120693ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑁 − 1))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (𝑁 − 1))
12272adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
123121, 122mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 < (#‘𝑊))
124 ccatfv0 13220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
12546, 49, 123, 124syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
126119, 125preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
127126ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑊) = (𝑁 − 1) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
12830, 127syld 46 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}))
129128impcom 445 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
130129eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
131130biimpcd 238 . . . . . . . . 9 ({( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 → (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
1321313ad2ant3 1077 . . . . . . . 8 (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) → (((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
133132impl 648 . . . . . . 7 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)
134116, 133jca 553 . . . . . 6 (((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
135134ex 449 . . . . 5 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)))
13613, 135syl6bi 242 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1371363adant2 1073 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1381, 137mpcom 37 . 2 ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸)))
139138impcom 445 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ ran 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   ClWWalks cclwwlk 26276   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  26629
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