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Theorem extwwlkfab 26617
 Description: The set of closed walks (having a fixed length greater than 1 and starting at a fixed vertex) with the last but 2 vertex is identical with the first (and therefore last) vertex can be constructed from the set of closed walks with length smaller by 2 than the fixed length appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). 3 ≤ 𝑁 is required since for 𝑁 = 2: (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = (𝑋𝐹0) = ∅, see clwwlkgt0 26299 stating that a walk of length 0 is not represented as word, at least not for an undirected simple graph.) (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
extwwlkfab ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfab
Dummy variables 𝑖 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 11605 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 numclwwlk.c . . . . 5 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
3 numclwwlk.f . . . . 5 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
4 numclwwlk.g . . . . 5 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
52, 3, 4numclwwlkovg 26614 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
61, 5sylan2 490 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
763adant1 1072 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
8 eluzge2nn0 11603 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
92numclwwlkfvc 26604 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
101, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝐶𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
11103ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐶𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
1211eleq2d 2673 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)))
132extwwlkfablem2 26605 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)))
14 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘0) = 𝑋)
1613, 15jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
1713anim3i 1243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
18 extwwlkfablem1 26601 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
1917, 18sylanl1 680 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
20 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
2120, 14eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2316, 19, 223jca 1235 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
2423ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
25 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2725eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑤‘0))
2826, 27eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
2925, 28jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3029ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3130a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
33323imp 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3424, 33impbid1 214 . . . . . . . 8 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
35 clwwlknimp 26304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸))
36 ige3m2fz 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
37 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
3837eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
3936, 38syl5ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
41 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
4240, 41jctild 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
43423ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
4435, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
4544com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
46453ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
4746imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
48 swrd0fv0 13292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
5049eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (𝑤‘0) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0))
5150eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
5251anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋)))
53523anbi1d 1395 . . . . . . . 8 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5434, 53bitrd 267 . . . . . . 7 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5554ex 449 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
5612, 55sylbid 229 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑁) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
5756imp 444 . . . 4 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
58 uznn0sub 11595 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
591, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
602, 3numclwwlkovf 26608 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
6159, 60sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
62613adant1 1072 . . . . . . . 8 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
6362adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
6463eleq2d 2673 . . . . . 6 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
65 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → (𝑢‘0) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0))
6665eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
67 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
6867eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
6968cbvrabv 3172 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑢 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑢‘0) = 𝑋}
7066, 69elrab2 3333 . . . . . 6 ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
7164, 70syl6rbb 276 . . . . 5 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ↔ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
72713anbi1d 1395 . . . 4 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑁)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝐶‘(𝑁 − 2)) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7357, 72bitrd 267 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7473rabbidva 3163 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
757, 74eqtrd 2644 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150   USGrph cusg 25859   Neighbors cnbgra 25946   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2foa  26618  numclwlk1lem2f  26619
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