MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraedgrnv Structured version   Unicode version

Theorem usgraedgrnv 24503
Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedgrnv  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )

Proof of Theorem usgraedgrnv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf0 24474 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2 f1f 5787 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
3 df-f 5598 . . . 4  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
4 ssel2 3494 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
5 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { M ,  N }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { M ,  N } ) )
65eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { M ,  N }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
76elrab 3257 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { M ,  N }  e.  ~P V  /\  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
8 prex 4698 . . . . . . . . . . 11  |-  { M ,  N }  e.  _V
98elpw 4021 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  e.  ~P V  <->  { M ,  N }  C_  V
)
10 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  <->  ( -.  M  e.  _V  \/  -.  N  e.  _V ) )
11 elprchashprn2 12464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
12 elprchashprn2 12464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  -.  ( # `  { N ,  M }
)  =  2 )
13 prcom 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { N ,  M }  =  { M ,  N }
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  { N ,  M }  =  { M ,  N } )
1514fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  (
# `  { N ,  M } )  =  ( # `  { M ,  N }
) )
1615eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  ( ( # `  { N ,  M }
)  =  2  <->  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
1712, 16mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
1811, 17jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  M  e.  _V  \/  -.  N  e.  _V )  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
1910, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
2019con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  _V  /\  N  e. 
_V ) )
21 prssg 4187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( ( M  e.  V  /\  N  e.  V )  <->  { M ,  N }  C_  V
) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( { M ,  N }  C_  V  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( { M ,  N }  C_  V  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  C_  V  ->  ( ( # `
 { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
259, 24sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  e.  ~P V  ->  (
( # `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
2625imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( { M ,  N }  e.  ~P V  /\  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
277, 26sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
284, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) )
2928ex 434 . . . . 5  |-  ( ran 
E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
313, 30sylbi 195 . . 3  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
321, 2, 313syl 20 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
3332imp 429 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594   2c2 10606   #chash 12407   USGrph cusg 24456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408  df-usgra 24459
This theorem is referenced by:  nbusgra  24554  nbgra0nb  24555  nbgraeledg  24556  nbgraisvtx  24557  usgra2adedgspthlem2  24738  usgra2adedgspth  24739  usgra2adedgwlk  24740  usgra2adedgwlkon  24741  constr3trllem2  24777  constr3trllem5  24780  frgranbnb  25146  frgraeu  25180  extwwlkfablem1  25200  numclwwlkun  25205
  Copyright terms: Public domain W3C validator