Theorem usgraedgrnv 24081

Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgraedgrnv	|- ( ( V USGrph E /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Proof of Theorem usgraedgrnv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgraf0 24052	. . 3 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
2		f1f 5781	. . 3 |- ( E : dom E -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
3		df-f 5592	. . . 4 |- ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( E Fn dom E /\ ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) )
4		ssel2 3499	. . . . . . 7 |- ( ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } /\ { M , N } e. ran E ) -> { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
5		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { M , N } -> ( # ` x ) = ( # ` { M , N } ) )
6	5	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( x = { M , N } -> ( ( # ` x ) = 2 <-> ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
7	6	elrab 3261	. . . . . . . 8 |- ( { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( { M , N } e. ~P V /\ ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
8		prex 4689	. . . . . . . . . . 11 |- { M , N } e. _V
9	8	elpw 4016	. . . . . . . . . 10 |- ( { M , N } e. ~P V <-> { M , N } C_ V )
10		ianor 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( M e. _V /\ N e. _V ) <-> ( -. M e. _V \/ -. N e. _V ) )
11		elprchashprn2 12429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. M e. _V -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
12		elprchashprn2 12429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. N e. _V -> -. ( # ` { N , M } ) = 2 )
13		prcom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { N , M } = { M , N }
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. N e. _V -> { N , M } = { M , N } )
15	14	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. N e. _V -> ( # ` { N , M } ) = ( # ` { M , N } ) )
16	15	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. N e. _V -> ( ( # ` { N , M } ) = 2 <-> ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
17	12, 16	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. N e. _V -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
18	11, 17	jaoi 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. M e. _V \/ -. N e. _V ) -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
19	10, 18	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( M e. _V /\ N e. _V ) -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
20	19	con4i 130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
21		prssg 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } C_ V ) )
22	21	biimprd 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( { M , N } C_ V -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
23	20, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( { M , N } C_ V -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
24	23	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( { M , N } C_ V -> ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
25	9, 24	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( { M , N } e. ~P V -> ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
26	25	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( { M , N } e. ~P V /\ ( # ` { M , N } ) = 2 ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )
27	7, 26	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( M e. V /\ N e. V ) )
28	4, 27	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )
29	28	ex 434	. . . . 5 |- ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
30	29	adantl 466	. . . 4 |- ( ( E Fn dom E /\ ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
31	3, 30	sylbi 195	. . 3 |- ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
32	1, 2, 31	3syl 20	. 2 |- ( V USGrph E -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
33	32	imp 429	1 |- ( ( V USGrph E /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588   2c2 10585   #chash 12373   USGrph cusg 24034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037

This theorem is referenced by:  nbusgra  24132  nbgra0nb  24133  nbgraeledg  24134  nbgraisvtx  24135  usgra2adedgspthlem2  24316  usgra2adedgspth  24317  usgra2adedgwlk  24318  usgra2adedgwlkon  24319  constr3trllem2  24355  constr3trllem5  24358  frgranbnb  24724  frgraeu  24759  extwwlkfablem1  24779  numclwwlkun  24784