Theorem usgraedgrnv 23247

Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgraedgrnv	|- ( ( V USGrph E /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Proof of Theorem usgraedgrnv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgraf0 23227	. . 3 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
2		f1f 5601	. . 3 |- ( E : dom E -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
3		df-f 5417	. . . 4 |- ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( E Fn dom E /\ ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) )
4		ssel2 3346	. . . . . . 7 |- ( ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } /\ { M , N } e. ran E ) -> { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
5		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { M , N } -> ( # ` x ) = ( # ` { M , N } ) )
6	5	eqeq1d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( x = { M , N } -> ( ( # ` x ) = 2 <-> ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
7	6	elrab 3112	. . . . . . . 8 |- ( { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( { M , N } e. ~P V /\ ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
8		prex 4529	. . . . . . . . . . 11 |- { M , N } e. _V
9	8	elpw 3861	. . . . . . . . . 10 |- ( { M , N } e. ~P V <-> { M , N } C_ V )
10		ianor 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( M e. _V /\ N e. _V ) <-> ( -. M e. _V \/ -. N e. _V ) )
11		elprchashprn2 12148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. M e. _V -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
12		elprchashprn2 12148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. N e. _V -> -. ( # ` { N , M } ) = 2 )
13		prcom 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { N , M } = { M , N }
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. N e. _V -> { N , M } = { M , N } )
15	14	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. N e. _V -> ( # ` { N , M } ) = ( # ` { M , N } ) )
16	15	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. N e. _V -> ( ( # ` { N , M } ) = 2 <-> ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
17	12, 16	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. N e. _V -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
18	11, 17	jaoi 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. M e. _V \/ -. N e. _V ) -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
19	10, 18	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( M e. _V /\ N e. _V ) -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
20	19	con4i 130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
21		prssg 4023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } C_ V ) )
22	21	biimprd 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( { M , N } C_ V -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
23	20, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( { M , N } C_ V -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
24	23	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( { M , N } C_ V -> ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
25	9, 24	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( { M , N } e. ~P V -> ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
26	25	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( { M , N } e. ~P V /\ ( # ` { M , N } ) = 2 ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )
27	7, 26	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( M e. V /\ N e. V ) )
28	4, 27	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )
29	28	ex 434	. . . . 5 |- ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
30	29	adantl 466	. . . 4 |- ( ( E Fn dom E /\ ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
31	3, 30	sylbi 195	. . 3 |- ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
32	1, 2, 31	3syl 20	. 2 |- ( V USGrph E -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
33	32	imp 429	1 |- ( ( V USGrph E /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {cpr 3874   class class class wbr 4287   dom cdm 4835   ran crn 4836   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   2c2 10363   #chash 12095   USGrph cusg 23215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096  df-usgra 23217

This theorem is referenced by:  nbusgra  23290  nbgra0nb  23291  nbgraeledg  23292  nbgraisvtx  23293  constr3trllem2  23488  constr3trllem5  23491  usgra2adedgspthlem2  30257  usgra2adedgspth  30258  usgra2adedgwlk  30259  usgra2adedgwlkon  30260  frgranbnb  30565  frgraeu  30600  extwwlkfablem1  30620  numclwwlkun  30625