MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraedgrnv Structured version   Unicode version

Theorem usgraedgrnv 23247
Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedgrnv  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )

Proof of Theorem usgraedgrnv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf0 23227 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2 f1f 5601 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
3 df-f 5417 . . . 4  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
4 ssel2 3346 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
5 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { M ,  N }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { M ,  N } ) )
65eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { M ,  N }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
76elrab 3112 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { M ,  N }  e.  ~P V  /\  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
8 prex 4529 . . . . . . . . . . 11  |-  { M ,  N }  e.  _V
98elpw 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  e.  ~P V  <->  { M ,  N }  C_  V
)
10 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  <->  ( -.  M  e.  _V  \/  -.  N  e.  _V ) )
11 elprchashprn2 12148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
12 elprchashprn2 12148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  -.  ( # `  { N ,  M }
)  =  2 )
13 prcom 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { N ,  M }  =  { M ,  N }
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  { N ,  M }  =  { M ,  N } )
1514fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  (
# `  { N ,  M } )  =  ( # `  { M ,  N }
) )
1615eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  ( ( # `  { N ,  M }
)  =  2  <->  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
1712, 16mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
1811, 17jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  M  e.  _V  \/  -.  N  e.  _V )  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
1910, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
2019con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  _V  /\  N  e. 
_V ) )
21 prssg 4023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( ( M  e.  V  /\  N  e.  V )  <->  { M ,  N }  C_  V
) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( { M ,  N }  C_  V  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( { M ,  N }  C_  V  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  C_  V  ->  ( ( # `
 { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
259, 24sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  e.  ~P V  ->  (
( # `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
2625imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( { M ,  N }  e.  ~P V  /\  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
277, 26sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
284, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) )
2928ex 434 . . . . 5  |-  ( ran 
E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
313, 30sylbi 195 . . 3  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
321, 2, 313syl 20 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
3332imp 429 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {cpr 3874   class class class wbr 4287   dom cdm 4835   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   2c2 10363   #chash 12095   USGrph cusg 23215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096  df-usgra 23217
This theorem is referenced by:  nbusgra  23290  nbgra0nb  23291  nbgraeledg  23292  nbgraisvtx  23293  constr3trllem2  23488  constr3trllem5  23491  usgra2adedgspthlem2  30257  usgra2adedgspth  30258  usgra2adedgwlk  30259  usgra2adedgwlkon  30260  frgranbnb  30565  frgraeu  30600  extwwlkfablem1  30620  numclwwlkun  30625
  Copyright terms: Public domain W3C validator