Theorem usgraedgrnv 24503

Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgraedgrnv	|- ( ( V USGrph E /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Proof of Theorem usgraedgrnv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgraf0 24474	. . 3 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
2		f1f 5787	. . 3 |- ( E : dom E -1-1-> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
3		df-f 5598	. . . 4 |- ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( E Fn dom E /\ ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) )
4		ssel2 3494	. . . . . . 7 |- ( ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } /\ { M , N } e. ran E ) -> { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } )
5		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { M , N } -> ( # ` x ) = ( # ` { M , N } ) )
6	5	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9 |- ( x = { M , N } -> ( ( # ` x ) = 2 <-> ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
7	6	elrab 3257	. . . . . . . 8 |- ( { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } <-> ( { M , N } e. ~P V /\ ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
8		prex 4698	. . . . . . . . . . 11 |- { M , N } e. _V
9	8	elpw 4021	. . . . . . . . . 10 |- ( { M , N } e. ~P V <-> { M , N } C_ V )
10		ianor 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( M e. _V /\ N e. _V ) <-> ( -. M e. _V \/ -. N e. _V ) )
11		elprchashprn2 12464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. M e. _V -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
12		elprchashprn2 12464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. N e. _V -> -. ( # ` { N , M } ) = 2 )
13		prcom 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { N , M } = { M , N }
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. N e. _V -> { N , M } = { M , N } )
15	14	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. N e. _V -> ( # ` { N , M } ) = ( # ` { M , N } ) )
16	15	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. N e. _V -> ( ( # ` { N , M } ) = 2 <-> ( # ` { M , N } ) = 2 ) )
17	12, 16	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. N e. _V -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
18	11, 17	jaoi 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. M e. _V \/ -. N e. _V ) -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
19	10, 18	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( M e. _V /\ N e. _V ) -> -. ( # ` { M , N } ) = 2 )
20	19	con4i 130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. _V /\ N e. _V ) )
21		prssg 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( ( M e. V /\ N e. V ) <-> { M , N } C_ V ) )
22	21	biimprd 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. _V /\ N e. _V ) -> ( { M , N } C_ V -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
23	20, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( { M , N } C_ V -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
24	23	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( { M , N } C_ V -> ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
25	9, 24	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( { M , N } e. ~P V -> ( ( # ` { M , N } ) = 2 -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
26	25	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( { M , N } e. ~P V /\ ( # ` { M , N } ) = 2 ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )
27	7, 26	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( { M , N } e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( M e. V /\ N e. V ) )
28	4, 27	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )
29	28	ex 434	. . . . 5 |- ( ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
30	29	adantl 466	. . . 4 |- ( ( E Fn dom E /\ ran E C_ { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } ) -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
31	3, 30	sylbi 195	. . 3 |- ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
32	1, 2, 31	3syl 20	. 2 |- ( V USGrph E -> ( { M , N } e. ran E -> ( M e. V /\ N e. V ) ) )
33	32	imp 429	1 |- ( ( V USGrph E /\ { M , N } e. ran E ) -> ( M e. V /\ N e. V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594   2c2 10606   #chash 12407   USGrph cusg 24456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408  df-usgra 24459

This theorem is referenced by:  nbusgra  24554  nbgra0nb  24555  nbgraeledg  24556  nbgraisvtx  24557  usgra2adedgspthlem2  24738  usgra2adedgspth  24739  usgra2adedgwlk  24740  usgra2adedgwlkon  24741  constr3trllem2  24777  constr3trllem5  24780  frgranbnb  25146  frgraeu  25180  extwwlkfablem1  25200  numclwwlkun  25205