MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraedgrnv Structured version   Unicode version

Theorem usgraedgrnv 24081
Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedgrnv  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )

Proof of Theorem usgraedgrnv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf0 24052 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2 f1f 5781 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
3 df-f 5592 . . . 4  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
4 ssel2 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
5 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { M ,  N }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { M ,  N } ) )
65eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { M ,  N }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
76elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { M ,  N }  e.  ~P V  /\  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 ) )
8 prex 4689 . . . . . . . . . . 11  |-  { M ,  N }  e.  _V
98elpw 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  e.  ~P V  <->  { M ,  N }  C_  V
)
10 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  <->  ( -.  M  e.  _V  \/  -.  N  e.  _V ) )
11 elprchashprn2 12429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
12 elprchashprn2 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  -.  ( # `  { N ,  M }
)  =  2 )
13 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { N ,  M }  =  { M ,  N }
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  { N ,  M }  =  { M ,  N } )
1514fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  (
# `  { N ,  M } )  =  ( # `  { M ,  N }
) )
1615eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  ( ( # `  { N ,  M }
)  =  2  <->  ( # `
 { M ,  N } )  =  2 ) )
1712, 16mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  N  e.  _V  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
1811, 17jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  M  e.  _V  \/  -.  N  e.  _V )  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
1910, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  -.  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )
2019con4i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  _V  /\  N  e. 
_V ) )
21 prssg 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( ( M  e.  V  /\  N  e.  V )  <->  { M ,  N }  C_  V
) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( { M ,  N }  C_  V  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( { M ,  N }  C_  V  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( { M ,  N }  C_  V  ->  ( ( # `
 { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
259, 24sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( { M ,  N }  e.  ~P V  ->  (
( # `  { M ,  N } )  =  2  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
2625imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( { M ,  N }  e.  ~P V  /\  ( # `  { M ,  N }
)  =  2 )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
277, 26sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( { M ,  N }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
284, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) )
2928ex 434 . . . . 5  |-  ( ran 
E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
313, 30sylbi 195 . . 3  |-  ( E : dom  E --> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  -> 
( M  e.  V  /\  N  e.  V
) ) )
321, 2, 313syl 20 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( { M ,  N }  e.  ran  E  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) ) )
3332imp 429 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { M ,  N }  e.  ran  E )  ->  ( M  e.  V  /\  N  e.  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588   2c2 10585   #chash 12373   USGrph cusg 24034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037
This theorem is referenced by:  nbusgra  24132  nbgra0nb  24133  nbgraeledg  24134  nbgraisvtx  24135  usgra2adedgspthlem2  24316  usgra2adedgspth  24317  usgra2adedgwlk  24318  usgra2adedgwlkon  24319  constr3trllem2  24355  constr3trllem5  24358  frgranbnb  24724  frgraeu  24759  extwwlkfablem1  24779  numclwwlkun  24784
  Copyright terms: Public domain W3C validator