Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgranloopv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgranloopv 25907
 Description: In an undirected simple graph without loops, there is no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgranloopv ((𝑉 USGrph 𝐸𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))

Proof of Theorem usgranloopv
StepHypRef Expression
1 prnzg 4254 . . . . . . . 8 (𝑀𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3 neeq1 2844 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
52, 4mpbird 246 . . . . . 6 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐸𝑋) ≠ ∅)
6 fvfundmfvn0 6136 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8 usgraedgprv 25905 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
9 usgraedg2 25904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → (#‘(𝐸𝑋)) = 2)
10 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (#‘(𝐸𝑋)) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
1110eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
1211biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
13 hashprgOLD 13044 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝑉𝑁𝑉) → (𝑀𝑁 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
1413biimprcd 239 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) → 𝑀𝑁))
1512, 14syl6com 36 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) → 𝑀𝑁)))
169, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) → 𝑀𝑁)))
178, 16mpdd 42 . . . . . . . . 9 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
1817adantrd 483 . . . . . . . 8 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁))
1918expcom 450 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁)))
2019com23 84 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑀𝑁)))
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑀𝑁)))
227, 21mpcom 37 . . . 4 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑉 USGrph 𝐸𝑀𝑁))
2322ex 449 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑊 → (𝑉 USGrph 𝐸𝑀𝑁)))
2423com13 86 . 2 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑀𝑊 → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁)))
2524imp 444 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862 This theorem is referenced by:  usgranloop  25908
 Copyright terms: Public domain W3C validator