Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum 25015
 Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rpvmasum (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (DChr‘𝑁) = (DChr‘𝑁)
6 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(DChr‘𝑁)) = (Base‘(DChr‘𝑁))
7 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g‘(DChr‘𝑁)) = (0g‘(DChr‘𝑁))
8 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑛 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝑛))
98fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑦‘(𝐿𝑛)))
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
119, 10oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
1211cbvsumv 14274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)
1312eqeq1i 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0))
1514rabbiia 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0}
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
171, 2, 4, 5, 6, 7, 15, 16dchrisum0 25009 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
1817imnani 438 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
1918eq0rdv 3931 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = ∅)
2019fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) = (#‘∅))
21 hash0 13019 . . . . . . . . . 10 (#‘∅) = 0
2220, 21syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) = 0)
2322oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = (1 − 0))
24 1m0e1 11008 . . . . . . . 8 (1 − 0) = 1
2523, 24syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
2726oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = ((log‘𝑥) · 1))
28 relogcl 24126 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2928adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
3029recnd 9947 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3130mulid1d 9936 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
3227, 31eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = (log‘𝑥))
3332oveq2d 6565 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
3433mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
35 eqid 2610 . . 3 {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
36 rpvmasum.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
37 rpvmasum.b . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
38 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
3917pm2.21i 115 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝐴 = (1r𝑍))
401, 2, 3, 5, 6, 7, 35, 36, 37, 38, 39rpvmasum2 25001 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) ∈ 𝑂(1))
4134, 40eqeltrrd 2689 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  #chash 12979  𝑂(1)co1 14065  Σcsu 14264  ϕcphi 15307  Basecbs 15695  0gc0g 15923  1rcur 18324  Unitcui 18462  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670  logclog 24105  Λcvma 24618  DChrcdchr 24757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-rpss 6835  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-lo1 14070  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-numer 15281  df-denom 15282  df-phi 15309  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-od 17771  df-gex 17772  df-pgp 17773  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-cyg 18103  df-dprd 18217  df-dpj 18218  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ply 23748  df-idp 23749  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-quot 23850  df-log 24107  df-cxp 24108  df-em 24519  df-cht 24623  df-vma 24624  df-chp 24625  df-ppi 24626  df-mu 24627  df-dchr 24758 This theorem is referenced by:  rplogsum  25016
 Copyright terms: Public domain W3C validator