Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rusgr0edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgr0edg 41176
 Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgrnumwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (#‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
Assertion
Ref Expression
rusgr0edg ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg
StepHypRef Expression
1 simp2 1055 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃𝑉)
2 nnnn0 11176 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1077 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 rusgrnumwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 rusgrnumwwlk.l . . . 4 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (#‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
64, 5rusgrnumwwlklem 41173 . . 3 ((𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
71, 3, 6syl2anc 691 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8 rusgrusgr 40764 . . . . . . . . . 10 (𝐺 RegUSGraph 0 → 𝐺 ∈ USGraph )
9 usgr0edg0rusgr 40775 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 RegUSGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
109biimpcd 238 . . . . . . . . . 10 (𝐺 RegUSGraph 0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
118, 10mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝐺 RegUSGraph 0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12 0enwwlksnge1 41060 . . . . . . . . 9 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalkSN 𝐺) = ∅)
1311, 12sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalkSN 𝐺) = ∅)
14 eleq2 2677 . . . . . . . . 9 ((𝑁 WWalkSN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15 noel 3878 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑤 ∈ ∅
1615pm2.21i 115 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
1714, 16syl6bi 242 . . . . . . . 8 ((𝑁 WWalkSN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19183adant2 1073 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
2019ralrimiv 2948 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21 rabeq0 3911 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
2220, 21sylibr 223 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
2322fveq2d 6107 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (#‘∅))
24 hash0 13019 . . 3 (#‘∅) = 0
2523, 24syl6eq 2660 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
267, 25eqtrd 2644 1 ((𝐺 RegUSGraph 0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   RegUSGraph crusgr 40756   WWalkSN cwwlksn 41029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-vtxdg 40682  df-rgr 40757  df-rusgr 40758  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator