Theorem derangsn 30406

Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 7923	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
2		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 30403	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐷‘{𝐴}) = (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		f1of 6050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7		snidg 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
8		ffvelrn 6265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
9	6, 7, 8	syl2anr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
10		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)
11		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝐴))
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴))
14	13	rspcva 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
15	7, 10, 14	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
16		nelsn 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
18	9, 17	pm2.21dd 185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
19	18	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
20	19	abssdv 3639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21		ss0 3926	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
23	22	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (#‘∅))
24	4, 23	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (#‘∅))
25		hash0 13019	. 2 ⊢ (#‘∅) = 0
26	24, 25	syl6eq 2660	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  0cc0 9815  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  subfac1  30414